Analise os dois conjuntos de vetores abaixo e determine se eles formam ou não uma base para o \mathbb{R}^{3}, justificando a sua resposta:
A=\{(1,2,-1),(0,1,1),(1,0,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{(1,2,-1),(0,1,1),(1,0,2)\} e pede para determinar se esses vetores formam uma base para \mathbb{R}^{3}, com justificativa.
Informações relevantes do enunciado:
  • Há exatamente três vetores em A: v_{1}=(1,2,-1), v_{2}=(0,1,1) e v_{3}=(1,0,2).
  • A pergunta é apenas se esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa formar uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar devagar e sem pressa. Uma coleção de vetores forma uma base de \mathbb{R}^{3} se satisfaz duas condições simultâneas: são linearmente independentes e geram (span) todo \mathbb{R}^{3}. Para conjuntos de exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3} essas duas condições são equivalentes a uma única verificação prática: basta mostrar que os vetores são linearmente independentes. Se três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, então eles ocupam dimensão 3 e, portanto, geram todo \mathbb{R}^{3}, sendo assim uma base.
O que é linear independência? Dados v_{1},v_{2},v_{3}, eles são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Uma forma prática de checar isso é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante da matriz 3\times3 for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se for zero, não são.

Passo 3

Formo a matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(M). Se \det(M)\neq 0 então v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes e, por consequência, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 4

Cálculo do determinante por desenvolvimento (ou regra de Sarrus). Uso a expansão por cofatores na primeira linha:
\det(M)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot1=2,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot(-1)=2+1=3.
Substituindo:
\det(M)=1\cdot 2 - 0\cdot(\cdot) + 1\cdot 3 = 2 + 3 = 5.]

Passo 5

Interpretação do resultado: obtivemos \det(M)=5, que é diferente de zero. Isso significa que a única solução do sistema c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0 é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0; portanto os vetores são linearmente independentes. Como são três vetores em \mathbb{R}^{3} e são linearmente independentes, eles geram todo \mathbb{R}^{3}. Logo, A é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. Os vetores de A formam uma base de \mathbb{R}^{3} porque a matriz formada por eles tem determinante \;5\neq0, portanto são linearmente independentes.

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