Analise os dois conjuntos de vetores abaixo e determine se eles formam ou não uma base para o \mathbb{R}^{3}, justificando a sua resposta: A=\{(1,2,-1),(0,1,1),(1,0,2)\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto A=\{(1,2,-1),(0,1,1),(1,0,2)\} e pede para determinar se esses vetores formam uma base para \mathbb{R}^{3}, com justificativa.
Informações relevantes do enunciado:
Há exatamente três vetores em A: v_{1}=(1,2,-1), v_{2}=(0,1,1) e v_{3}=(1,0,2).
A pergunta é apenas se esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
O que significa formar uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar devagar e sem pressa. Uma coleção de vetores forma uma base de \mathbb{R}^{3} se satisfaz duas condições simultâneas: são linearmente independentes e geram (span) todo \mathbb{R}^{3}. Para conjuntos de exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3} essas duas condições são equivalentes a uma única verificação prática: basta mostrar que os vetores são linearmente independentes. Se três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, então eles ocupam dimensão 3 e, portanto, geram todo \mathbb{R}^{3}, sendo assim uma base.
O que é linear independência? Dados v_{1},v_{2},v_{3}, eles são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Uma forma prática de checar isso é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante da matriz 3\times3 for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se for zero, não são.
Passo 3
Formo a matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Interpretação do resultado: obtivemos \det(M)=5, que é diferente de zero. Isso significa que a única solução do sistema c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0 é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0; portanto os vetores são linearmente independentes. Como são três vetores em \mathbb{R}^{3} e são linearmente independentes, eles geram todo \mathbb{R}^{3}. Logo, A é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Sim. Os vetores de A formam uma base de \mathbb{R}^{3} porque a matriz formada por eles tem determinante \;5\neq0, portanto são linearmente independentes.