Verifique se r=s nos casos:
r:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}-\lambda \\\ y=\frac{1}{3}+\lambda \\\ z=\frac{2}{3}-\lambda\end{array} \quad(\lambda \in \mathbb{R})\right.
s:\left\{\begin{array}{l} x=1-\mu \\ y=-1+\mu \quad(\mu \in \mathbb{R}) \\ z=2-\mu \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado. Queremos verificar se as duas retas [r) e s em \mathbb{R}^3 são a mesma reta (isto é, se r=s). As equações paramétricas fornecidas são:
r:\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}-\lambda\\[4pt] y=\dfrac{1}{3}+\lambda\\[4pt] z=\dfrac{2}{3}-\lambda \end{cases}\quad (\lambda\in\mathbb{R})
s:\begin{cases} x=1-\mu\\[4pt] y=-1+\mu\\[4pt] z=2-\mu \end{cases}\quad (\mu\in\mathbb{R})
Pergunta em termos claros: será que os pontos de r\] e de \(s coincidem como conjuntos? Ou seja, todo ponto de r está em s e vice‑versa?]

Passo 2

Passo didático — como testar se duas retas em \mathbb{R}^3 coincidem. Regra prática:
  1. Escrever cada reta na forma ponto + parâmetro · vetor direção, isto é P + t\mathbf{v}.
  2. Se os vetores direção forem proporcionais (mesma direção), as retas são paralelas; então podem ser coincidentes ou paralelas distintas.
  3. Para decidir coincidentes ou distintas, basta testar se algum ponto de uma reta pertence à outra (ou verificar se a diferença entre pontos-base é múltipla do vetor direção).
Vou aplicar esse procedimento passo a passo aqui.

Passo 3

Identificar um ponto base e o vetor direção de cada reta convertendo as paramétricas para a forma vetorial.
Para r escolhemos \lambda como parâmetro e escrevemos:
r:\; (x,y,z)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)+\lambda\cdot(-1,1,-1).
Então ponto base de r é
A=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)
e vetor direção de r é
\mathbf{v}=(-1,1,-1).
Para s usamos \mu:
s:\; (x,y,z)=(1,-1,2)+\mu\cdot(-1,1,-1).
Então ponto base de s é
B=(1,-1,2)
e vetor direção de s é
\mathbf{w}=(-1,1,-1).

Passo 4

Comparar os vetores direção. Observa-se que
\mathbf{v}=(-1,1,-1)=\mathbf{w}.
Portanto as retas têm exatamente o mesmo vetor direção: são paralelas e, de facto, têm a mesma orientação. Logo ou coincidem (são a mesma reta) ou são retas paralelas distintas.

Passo 5

Testar se um ponto de [r) pertence a s (se esse teste falhar, as retas são distintas). Procuro \lambda,\mu tais que A+\lambda\mathbf{v}=B+\mu\mathbf{w}. Escrevendo as coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} \dfrac{1}{3}-\lambda = 1-\mu,\\[4pt] \dfrac{1}{3}+\lambda = -1+\mu,\\[4pt] \dfrac{2}{3}-\lambda = 2-\mu. \end{cases}
Vou manipular as primeiras duas equações para obter expressões para \mu\] em função de \(\lambda.
Da primeira equação:
\mu = 1 - \left(\dfrac{1}{3}-\lambda\right) = \dfrac{2}{3}+\lambda.
Da segunda equação:
\mu = \dfrac{1}{3}+\lambda +1 = \dfrac{4}{3}+\lambda.
Mas as duas expressões para \mu devem ser iguais; isto é,
\dfrac{2}{3}+\lambda = \dfrac{4}{3}+\lambda.
Cancelando \lambda dos dois lados obtemos
\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3},
o que é uma contradição. Portanto não existe (\lambda,\mu) que satisfaça simultaneamente as primeiras duas coordenadas; assim não há ponto comum entre r e s.]

Passo 6

Checagem alternativa (mais direta e rápida): calcular a diferença entre os pontos-base e ver se é múltiplo do vetor direção. Calculemos
B-A = \left(1-\dfrac{1}{3},\,-1-\dfrac{1}{3},\,2-\dfrac{2}{3}\right)=\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\right).
Se as retas coincidissem, deveria existir t\in\mathbb{R} tal que
B-A = t\,\mathbf{v} = t(-1,1,-1).
Comparando coordenadas teríamos
\dfrac{2}{3}=-t,\qquad -\dfrac{4}{3}=t,\qquad \dfrac{4}{3}=-t.
Essas três igualdades dariam t=-\dfrac{2}{3} pela primeira, t=-\dfrac{4}{3} pela segunda — contradição. Logo B-A não é múltiplo de \mathbf{v}, confirmando que as retas são paralelas porém distintas (não se interceptam).

Passo 7

Conclusão e interpretação didática final. Como os vetores direção coincidem, as retas são paralelas. Como não existe ponto comum (ou equivalentemente a diferença entre pontos-base não é múltiplo do vetor direção), as retas não coincidem. Em palavras simples: elas “andam na mesma direção” mas estão deslocadas uma da outra, então são retas paralelas distintas.

Resposta

Não, r\neq s. As retas são paralelas e distintas.

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