O que o enunciado pede e o que foi dado. Queremos verificar se as duas retas [r) e s em \mathbb{R}^3 são a mesma reta (isto é, se r=s). As equações paramétricas fornecidas são:
Pergunta em termos claros: será que os pontos de r\] e de \(s coincidem como conjuntos? Ou seja, todo ponto de r está em s e vice‑versa?]
Passo 2
Passo didático — como testar se duas retas em \mathbb{R}^3 coincidem. Regra prática:
Escrever cada reta na forma ponto + parâmetro · vetor direção, isto é P + t\mathbf{v}.
Se os vetores direção forem proporcionais (mesma direção), as retas são paralelas; então podem ser coincidentes ou paralelas distintas.
Para decidir coincidentes ou distintas, basta testar se algum ponto de uma reta pertence à outra (ou verificar se a diferença entre pontos-base é múltipla do vetor direção).
Vou aplicar esse procedimento passo a passo aqui.
Passo 3
Identificar um ponto base e o vetor direção de cada reta convertendo as paramétricas para a forma vetorial.
Para r escolhemos \lambda como parâmetro e escrevemos:
Portanto as retas têm exatamente o mesmo vetor direção: são paralelas e, de facto, têm a mesma orientação. Logo ou coincidem (são a mesma reta) ou são retas paralelas distintas.
Passo 5
Testar se um ponto de [r) pertence a s (se esse teste falhar, as retas são distintas). Procuro \lambda,\mu tais que A+\lambda\mathbf{v}=B+\mu\mathbf{w}. Escrevendo as coordenadas isso dá o sistema
Mas as duas expressões para \mu devem ser iguais; isto é,
\dfrac{2}{3}+\lambda = \dfrac{4}{3}+\lambda.
Cancelando \lambda dos dois lados obtemos
\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3},
o que é uma contradição. Portanto não existe (\lambda,\mu) que satisfaça simultaneamente as primeiras duas coordenadas; assim não há ponto comum entre r e s.]
Passo 6
Checagem alternativa (mais direta e rápida): calcular a diferença entre os pontos-base e ver se é múltiplo do vetor direção. Calculemos
Essas três igualdades dariam t=-\dfrac{2}{3} pela primeira, t=-\dfrac{4}{3} pela segunda — contradição. Logo B-A não é múltiplo de \mathbf{v}, confirmando que as retas são paralelas porém distintas (não se interceptam).
Passo 7
Conclusão e interpretação didática final. Como os vetores direção coincidem, as retas são paralelas. Como não existe ponto comum (ou equivalentemente a diferença entre pontos-base não é múltiplo do vetor direção), as retas não coincidem. Em palavras simples: elas “andam na mesma direção” mas estão deslocadas uma da outra, então são retas paralelas distintas.