Analise os dois conjuntos de vetores abaixo e determine se eles formam ou não uma base para o
, justificando a sua resposta:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
de vetores em
:
A pergunta é: esses vetores formam uma base para
?\n
Vou listar claramente o que foi dado:
Vou listar claramente o que foi dado:
- Os quatro vetores são
, , e . - Cada vetor está em
(tem três coordenadas).
O que se pede: - Determinar se o conjunto
é uma base de , justificando a resposta.
Passo 2
Lembrete (aulas rápidas e úteis para a prova):
- Definição de base: um conjunto de vetores é uma base de
se, e só se, (i) é linearmente independente e (ii) gera (ou seja, span =) todo . - Linearmente independente: vetores
são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
. Se existir uma combinação linear não-trivial que dá zero (algum coeficiente não nulo), então são linearmente dependentes.
- Gerar
: o span dos vetores precisa ser o conjunto de todos os vetores com . Em particular, para gerar precisa-se ser possível obter vetores com qualquer terceira coordenada .
Essas ideias serão usadas passo a passo.
Passo 3
Observação imediata sobre os vetores dados: todos têm a terceira coordenada igual a zero. Ou seja, peguei essa informação dos vetores listados no enunciado:
Isso significa que todos esses vetores pertencem ao subespaço plano
que é um subespaço de dimensão
(é isomorfo a
). Explicando por que isso importa: qualquer combinação linear desses vetores também terá terceira coordenada
. Logo, não é possível obter, a partir deles, um vetor com terceira coordenada diferente de zero, por exemplo
. Portanto, esses vetores não conseguem gerar todo
— o span deles está contido no plano
, que tem dimensão
. Como uma base de
precisa gerar todo
, isso já indica que
não pode ser uma base.
Passo 4
Agora vamos mostrar explicitamente dependências lineares entre os vetores (útil para a prova: mostrar dependência é prova direta de que não é base). Denoto:
Procuro constantes
tais que
. Escrevendo coordenada a coordenada (peguei os vetores do enunciado):
primeira coordenada: , ou seja
.
segunda coordenada: , ou seja
.
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
. Logo
. Conclui-se
primeira coordenada:
segunda coordenada:
Da primeira equação
Isso mostra que
é combinação linear de
e
: há dependência linear entre os vetores.
Passo 5
Faço o mesmo para
: procuro
tais que
. Coordenada a coordenada:
primeira: .
segunda: .
Somando as duas equações: .
Então .
Verificação rápida (peguei os vetores do enunciado): primeira coord.: . Segunda:
. OK.
Portanto
primeira:
segunda:
Somando as duas equações:
Então
Verificação rápida (peguei os vetores do enunciado): primeira coord.:
Portanto
Assim
também é combinação linear de
e
.
Passo 6
Resumo do que obtivemos até agora (passo a passo, que dá uma maneira prática de checar em prova):
-
. -
.
Isto mostra que todos os vetores do conjuntosão combinações lineares de e . Então o span é igual ao span , que é um subespaço de dimensão, no máximo, .
Para completar a análise, verifico que
e
são linearmente independentes (para saber o posto exato). Considere
. Coordenada a coordenada:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
, então
. Logo a única solução é
:
e
são independentes. Conclusão técnica: o posto (rank) do conjunto
é
.
Passo 7
Interpretação final (o que vale na prova e o que você deve escrever):
- O conjunto
não gera porque todas as combinações lineares têm terceira coordenada ; logo o span é um subespaço de dimensão , não todo . - Além disso, os vetores são linearmente dependentes (por exemplo
), e o posto é , não .
Esses dois pontos (não gerare dependência linear) são justificativas completas de que não é uma base de .
Resposta
Não. Os vetores não formam uma base de
.