Analise os dois conjuntos de vetores abaixo e determine se eles formam ou não uma base para o \mathbb{R}^{3}, justificando a sua resposta:
B=\{(1,2,0),(-1,1,0),(0,3,0),(2,-1,0)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B de vetores em \mathbb{R}^{3}:
B=\{(1,2,0),\;(-1,1,0),\;(0,3,0),\;(2,-1,0)\}.
A pergunta é: esses vetores formam uma base para \mathbb{R}^{3}?\n
Vou listar claramente o que foi dado:
  • Os quatro vetores são (1,2,0), (-1,1,0), (0,3,0) e (2,-1,0).
  • Cada vetor está em \mathbb{R}^{3} (tem três coordenadas).
    O que se pede:
  • Determinar se o conjunto B é uma base de \mathbb{R}^{3}, justificando a resposta.

Passo 2

Lembrete (aulas rápidas e úteis para a prova):
  • Definição de base: um conjunto de vetores é uma base de \mathbb{R}^{3} se, e só se, (i) é linearmente independente e (ii) gera (ou seja, span =) todo \mathbb{R}^{3}.
  • Linearmente independente: vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Se existir uma combinação linear não-trivial que dá zero (algum coeficiente não nulo), então são linearmente dependentes.
  • Gerar \mathbb{R}^3: o span dos vetores precisa ser o conjunto de todos os vetores (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{R}. Em particular, para gerar \mathbb{R}^3 precisa-se ser possível obter vetores com qualquer terceira coordenada z.
    Essas ideias serão usadas passo a passo.

Passo 3

Observação imediata sobre os vetores dados: todos têm a terceira coordenada igual a zero. Ou seja, peguei essa informação dos vetores listados no enunciado:
(1,2,0),\;(-1,1,0),\;(0,3,0),\;(2,-1,0).
Isso significa que todos esses vetores pertencem ao subespaço plano
\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^{3}\},
que é um subespaço de dimensão 2 (é isomorfo a \mathbb{R}^{2}). Explicando por que isso importa: qualquer combinação linear desses vetores também terá terceira coordenada 0. Logo, não é possível obter, a partir deles, um vetor com terceira coordenada diferente de zero, por exemplo (0,0,1). Portanto, esses vetores não conseguem gerar todo \mathbb{R}^{3} — o span deles está contido no plano z=0, que tem dimensão 2. Como uma base de \mathbb{R}^{3} precisa gerar todo \mathbb{R}^{3}, isso já indica que B não pode ser uma base.

Passo 4

Agora vamos mostrar explicitamente dependências lineares entre os vetores (útil para a prova: mostrar dependência é prova direta de que não é base). Denoto:
v_1=(1,2,0),\quad v_2=(-1,1,0),\quad v_3=(0,3,0),\quad v_4=(2,-1,0).
Procuro constantes a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Escrevendo coordenada a coordenada (peguei os vetores do enunciado):
primeira coordenada: a\cdot 1 + b\cdot(-1)=0, ou seja a-b=0.
segunda coordenada: a\cdot 2 + b\cdot 1=3, ou seja 2a+b=3.
Da primeira equação a=b. Substituindo na segunda: 2a+a=3\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1. Logo b=1. Conclui-se
v_3 = 1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 = v_1 + v_2.
Isso mostra que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2: há dependência linear entre os vetores.

Passo 5

Faço o mesmo para v_4: procuro a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_4. Coordenada a coordenada:
primeira: a - b = 2.
segunda: 2a + b = -1.
Somando as duas equações: (a-b)+(2a+b)=2+(-1)\Rightarrow 3a=1\Rightarrow a=\tfrac{1}{3}.
Então b = a-2 = \tfrac{1}{3}-2 = -\tfrac{5}{3}.
Verificação rápida (peguei os vetores do enunciado): primeira coord.: \tfrac{1}{3}-(-\tfrac{5}{3})=2. Segunda: 2\cdot\tfrac{1}{3}+(-\tfrac{5}{3})=\tfrac{2}{3}-\tfrac{5}{3}=-1. OK.
Portanto
v_4 = \tfrac{1}{3}v_1 - \tfrac{5}{3}v_2.
Assim v_4 também é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 6

Resumo do que obtivemos até agora (passo a passo, que dá uma maneira prática de checar em prova):
  • v_3=v_1+v_2.
  • v_4=\tfrac{1}{3}v_1-\tfrac{5}{3}v_2.
    Isto mostra que todos os vetores do conjunto B são combinações lineares de v_1 e v_2. Então o span (B) é igual ao span (v_1,v_2), que é um subespaço de dimensão, no máximo, 2.
Para completar a análise, verifico que v_1 e v_2 são linearmente independentes (para saber o posto exato). Considere \alpha v_1+\beta v_2=0. Coordenada a coordenada:
\alpha - \beta = 0,\qquad 2\alpha + \beta = 0,\qquad 0\cdot\alpha + 0\cdot\beta = 0.
Da primeira equação \alpha=\beta. Substituindo na segunda: 2\alpha+\alpha=0\Rightarrow 3\alpha=0\Rightarrow \alpha=0, então \beta=0. Logo a única solução é \alpha=\beta=0: v_1 e v_2 são independentes. Conclusão técnica: o posto (rank) do conjunto B é 2.

Passo 7

Interpretação final (o que vale na prova e o que você deve escrever):
  • O conjunto B não gera \mathbb{R}^{3} porque todas as combinações lineares têm terceira coordenada 0; logo o span (B) é um subespaço de dimensão 2, não todo \mathbb{R}^{3}.
  • Além disso, os vetores são linearmente dependentes (por exemplo v_3=v_1+v_2), e o posto é 2, não 3.
    Esses dois pontos (não gerar \mathbb{R}^3 e dependência linear) são justificativas completas de que B não é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Não. Os vetores não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

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