Analise o domínio e as curvas de nível da função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) analisar o domínio da função e (2) analisar as curvas de nível da função
A função dada é . Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função dada é
- A expressão envolve
no denominador. - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrar da regra básica sobre denominadores. Uma função racional está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é
. Portanto devemos exigir
Agora discutir quando
. Soma de quadrados só é zero quando ambos os quadrados são zero, ou seja,
Logo o ponto
é proibido. Concluímos que o domínio é todo o plano com exclusão da origem. Em notação
Explicação didática: geometricamente isso significa que a função está definida em todos os pontos do plano exceto no centro (origem), porque ali a divisão por zero ocorreria.
Passo 3
Para estudar as curvas de nível é muito útil passar para coordenadas polares, porque
fica só em termos do raio. Recordando a mudança:
onde
e
. Nesse caso
Substituindo na função obtemos uma forma muito simples:
Interpretação:
depende apenas de
(a distância ao centro), e não de
. Isso diz que
é radialmente simétrica (rotacionalmente simétrica) — mesmo valor em todos os pontos à mesma distância da origem.
Passo 4
Definição e equação das curvas de nível: uma curva de nível de valor
é o conjunto
Impor
e resolver para
. Usando a expressão em termos de
:
Agora analisar os casos possíveis de
:
-
Caso
. Então podemos inverter a igualdade: Comotomamos a raiz positiva. Em coordenadas cartesianas isso equivale a ou seja, uma circunferência centrada na origem com raio. Então para todo a curva de nível é a circunferência de raio . -
Caso
. A equação não tem solução porque o lado esquerdo é sempre positivo para . Logo não existem curvas de nível com valor . -
Caso
. Novamente é sempre positivo, então não pode ser igual a um número negativo. Portanto não existem curvas de nível para .
Explicação prática com exemplos:
- Se
temos : curva de nível é a circunferência de raio . - Se
temos : circunferência de raio . - Se
temos : circunferência de raio .
Passo 5
Comportamento das curvas de nível conforme
varia: como
,
- quando
aumenta (valores maiores), diminui — curvas de nível de valores grandes ficam mais próximas da origem; - quando
tende a , — curvas de nível de valores pequenos se expandem para o infinito.
Isto combina com a interpretação física:“explode” próximo da origem e decresce quando nos afastamos.
Passo 6
Comportamento da função e monotonicidade radial (ajuda para entender a geometria): como vimos
para
. A derivada em relação a
é
Isto mostra que
é estritamente decrescente em
: ao andar radialmente para fora (aumentar
) o valor de
diminui. Consequência geométrica: curvas de nível são círculos concêntricos e valores maiores estão em círculos mais internos.
Passo 7
Gradiente e orientação das curvas de nível (opcional, mas intuitivo): o gradiente é dado por derivadas parciais — isso nos mostra a direção de maior crescimento de
:
Observações:
-
é radial (múltiplo do vetor ) e aponta em direção ao centro (sinal negativo), isto é, aponta para a origem, indicando que aumenta ao mover-se em direção à origem. - O gradiente é ortogonal às curvas de nível (propriedade geral), confirmando que as curvas de nível são perpendiculares às direções radiais.
Passo 8
Propriedades adicionais úteis para prova/exame:
- O domínio
é aberto e conexo (na prática: pode andar continuamente entre quaisquer dois pontos sem passar pela origem). - Limites importantes:
Essas frases explicam o comportamento extremo: singularidade na origem e decrescimento até zero à medida que se vai ao infinito.
Resposta
Domínio:
Curvas de nível: para a curva de nível
é a circunferência centrada na origem dada por
; para
não existem curvas de nível.
Curvas de nível: para