Analise o domínio e as curvas de nível da função
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) analisar o domínio da função e (2) analisar as curvas de nível da função
A função dada é f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão envolve x^{2}+y^{2} no denominador.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrar da regra básica sobre denominadores. Uma função racional está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é x^{2}+y^{2}. Portanto devemos exigir
x^{2}+y^{2}\neq 0.
Agora discutir quando x^{2}+y^{2}=0. Soma de quadrados só é zero quando ambos os quadrados são zero, ou seja,
x^{2}=0\quad\text{e}\quad y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{e}\\ y=0.
Logo o ponto (0,0) é proibido. Concluímos que o domínio é todo o plano com exclusão da origem. Em notação
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Explicação didática: geometricamente isso significa que a função está definida em todos os pontos do plano exceto no centro (origem), porque ali a divisão por zero ocorreria.

Passo 3

Para estudar as curvas de nível é muito útil passar para coordenadas polares, porque x^{2}+y^{2} fica só em termos do raio. Recordando a mudança:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Nesse caso
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Substituindo na função obtemos uma forma muito simples:
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{r^{2}}.
Interpretação: f depende apenas de r (a distância ao centro), e não de \theta. Isso diz que f é radialmente simétrica (rotacionalmente simétrica) — mesmo valor em todos os pontos à mesma distância da origem.

Passo 4

Definição e equação das curvas de nível: uma curva de nível de valor c é o conjunto
\{(x,y)\in\text{Dom}(f)\mid f(x,y)=c\}.
Impor f(x,y)=c e resolver para (x,y). Usando a expressão em termos de r:
\frac{1}{r^{2}}=c.
Agora analisar os casos possíveis de c:
  • Caso c>0. Então podemos inverter a igualdade:
    r^{2}=\frac{1}{c}\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{\frac{1}{c}}.
    Como r\ge 0 tomamos a raiz positiva. Em coordenadas cartesianas isso equivale a
    x^{2}+y^{2}=\frac{1}{c},
    ou seja, uma circunferência centrada na origem com raio R=\sqrt{\dfrac{1}{c}}. Então para todo c>0 a curva de nível é a circunferência de raio R.
  • Caso c=0. A equação \dfrac{1}{r^{2}}=0 não tem solução porque o lado esquerdo é sempre positivo para r>0. Logo não existem curvas de nível com valor c=0.
  • Caso c<0. Novamente \dfrac{1}{r^{2}} é sempre positivo, então não pode ser igual a um número negativo. Portanto não existem curvas de nível para c<0.
Explicação prática com exemplos:
  • Se c=1 temos r^{2}=1\Rightarrow r=1: curva de nível é a circunferência de raio 1.
  • Se c=\dfrac{1}{4} temos r^{2}=4\Rightarrow r=2: circunferência de raio 2.
  • Se c=4 temos r^{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow r=\dfrac{1}{2}: circunferência de raio 1/2.

Passo 5

Comportamento das curvas de nível conforme c varia: como R=\sqrt{1/c},
  • quando c aumenta (valores maiores), R diminui — curvas de nível de valores grandes ficam mais próximas da origem;
  • quando c tende a 0^{+}, R\to\infty — curvas de nível de valores pequenos se expandem para o infinito.
    Isto combina com a interpretação física: f “explode” próximo da origem e decresce quando nos afastamos.

Passo 6

Comportamento da função e monotonicidade radial (ajuda para entender a geometria): como vimos f(r)=1/r^{2} para r>0. A derivada em relação a r é
\frac{df}{dr}=\frac{d}{dr}\left(r^{-2}\right)=-2r^{-3}=-\frac{2}{r^{3}}<0\quad\text{para }r>0.
Isto mostra que f é estritamente decrescente em r: ao andar radialmente para fora (aumentar r) o valor de f diminui. Consequência geométrica: curvas de nível são círculos concêntricos e valores maiores estão em círculos mais internos.

Passo 7

Gradiente e orientação das curvas de nível (opcional, mas intuitivo): o gradiente é dado por derivadas parciais — isso nos mostra a direção de maior crescimento de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\left(-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\\\ -\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right).
Observações:
  • \nabla f é radial (múltiplo do vetor (x,y)) e aponta em direção ao centro (sinal negativo), isto é, aponta para a origem, indicando que f aumenta ao mover-se em direção à origem.
  • O gradiente é ortogonal às curvas de nível (propriedade geral), confirmando que as curvas de nível são perpendiculares às direções radiais.

Passo 8

Propriedades adicionais úteis para prova/exame:
  • O domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} é aberto e conexo (na prática: pode andar continuamente entre quaisquer dois pontos sem passar pela origem).
  • Limites importantes: \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=+\infty, \qquad \lim_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty} f(x,y)=0.Essas frases explicam o comportamento extremo: singularidade na origem e decrescimento até zero à medida que se vai ao infinito.

Resposta

Domínio: \text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Curvas de nível: para c>0 a curva de nível \{f=c\} é a circunferência centrada na origem dada por x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{c}; para c\le 0 não existem curvas de nível.

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