Esboce as curvas de nível da função
f(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x+y
e pede para esboçar as curvas de nível dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • O que se quer desenhar é o conjunto de pontos (x,y) onde f(x,y) é constante (para vários valores dessa constante).

Passo 2

Definição de curva de nível (aula rápida): para um número real fixo c, a curva de nível correspondente é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
No nosso caso, impondo f(x,y)=c obtemos a equação
x+y=c.

Passo 3

Transformando a equação para a forma de reta (explicando cada símbolo):
  • A variável x é a abscissa (horizontal) e y é a ordenada (vertical).
  • Reescrevendo x+y=c em função de y temos, isolando y,
y=-x+c.
Isto é a forma reduzida de uma reta: y=mx+b, onde m é a inclinação e b é o coeficiente linear. Aqui:
  • m=-1 (a inclinação é -1, ou seja, a reta desce 1 unidade em y para cada 1 unidade que avança em x),
  • b=c (a reta intercepta o eixo y em y=c).
Portanto, a curva de nível para cada c é uma reta com inclinação -1.

Passo 4

Características geométricas úteis (para desenhar à mão):
  • Cada reta x+y=c intercepta os eixos nos pontos (0,c) e (c,0). Isso é fácil de verificar:
    • Para x=0 obtemos y=c.
    • Para y=0 obtemos x=c.
  • Todas as retas são paralelas entre si, porque todas têm a mesma inclinação -1.
  • Um conjunto típico de curvas de nível pode ser obtido escolhendo valores de c como c=-2,-1,0,1,2. Essas dão as retas: x+y=-2,\quad x+y=-1,\quad x+y=0,\quad x+y=1,\quad x+y=2.
  • A reta x+y=0 é a bissetriz do segundo e quarto quadrantes (reta passando pela origem com ângulo de 135^\circ medido do eixo positivo x), e as demais são deslocamentos paralelos a ela.

Passo 5

Comentário sobre direção de maior crescimento (útil na prova): o gradiente de f é
\nabla f=(1,1).
O gradiente aponta na direção de maior aumento de f e é sempre perpendicular às curvas de nível. Para ver a ortogonalidade, um vetor diretor de uma reta x+y=c é (1,-1) (porque se x aumenta de 1, y diminui de 1); o produto escalar é
(1,1)\cdot(1,-1)=1-1=0,
confirmando que \nabla f é perpendicular às curvas de nível.

Passo 6

Dica prática para esboçar no papel (passos simples):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque alguns valores inteiros no eixo (por exemplo -2,-1,0,1,2).
  3. Para cada c escolhido desenhe a reta que passa por (0,c) e por (c,0). Ou trace a linha de inclinação -1 passando por esses pontos.
  4. Identifique as retas com seus respectivos c. As retas com c maiores estão deslocadas para cima/à direita em relação às com c menores.
Observação técnica rápida: a distância perpendicular entre as retas x+y=c_1 e x+y=c_2 é
\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{2}},
ou seja, as retas estão igualmente espaçadas quando os incrementos em c são iguais.

Resposta

As curvas de nível de f são as retas
x+y=c\quad\text{para cada }c\in\mathbb{R},
ou seja, uma família de retas paralelas de inclinação -1, cada uma passando por (0,c) e (c,0).

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