Esboce as curvas de nível da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para esboçar as curvas de nível dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é definida para todo
. - O que se quer desenhar é o conjunto de pontos
onde é constante (para vários valores dessa constante).
Passo 2
Definição de curva de nível (aula rápida): para um número real fixo
, a curva de nível correspondente é o conjunto
No nosso caso, impondo
obtemos a equação
Passo 3
Transformando a equação para a forma de reta (explicando cada símbolo):
- A variável
é a abscissa (horizontal) e é a ordenada (vertical). - Reescrevendo
em função de temos, isolando ,
Isto é a forma reduzida de uma reta:
, onde
é a inclinação e
é o coeficiente linear. Aqui:
-
(a inclinação é , ou seja, a reta desce 1 unidade em para cada 1 unidade que avança em ), -
(a reta intercepta o eixo em ).
Portanto, a curva de nível para cada
é uma reta com inclinação
.
Passo 4
Características geométricas úteis (para desenhar à mão):
- Cada reta
intercepta os eixos nos pontos e . Isso é fácil de verificar: - Para
obtemos . - Para
obtemos .
- Para
- Todas as retas são paralelas entre si, porque todas têm a mesma inclinação
. - Um conjunto típico de curvas de nível pode ser obtido escolhendo valores de
como . Essas dão as retas: - A reta
é a bissetriz do segundo e quarto quadrantes (reta passando pela origem com ângulo de medido do eixo positivo ), e as demais são deslocamentos paralelos a ela.
Passo 5
Comentário sobre direção de maior crescimento (útil na prova): o gradiente de
é
O gradiente aponta na direção de maior aumento de
e é sempre perpendicular às curvas de nível. Para ver a ortogonalidade, um vetor diretor de uma reta
é
(porque se
aumenta de
,
diminui de
); o produto escalar é
confirmando que
é perpendicular às curvas de nível.
Passo 6
Dica prática para esboçar no papel (passos simples):
- Desenhe os eixos
e . - Marque alguns valores inteiros no eixo (por exemplo
). - Para cada
escolhido desenhe a reta que passa por e por . Ou trace a linha de inclinação passando por esses pontos. - Identifique as retas com seus respectivos
. As retas com maiores estão deslocadas para cima/à direita em relação às com menores.
Observação técnica rápida: a distância perpendicular entre as retas
e
é
ou seja, as retas estão igualmente espaçadas quando os incrementos em
são iguais.
Resposta
As curvas de nível de
são as retas
ou seja, uma família de retas paralelas de inclinação
, cada uma passando por
e
.