Calcule o comprimento do gráfico de
y=t^{3 / 2}, \quad 0 \leq t \leq 4 .
(Considere a curva planar \vec{r}(t)=\left\langle t, t^{3 / 2}\right\rangle ).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do gráfico da curva planar dada por \vec{r}(t)=\langle t,\,t^{3/2}\rangle no intervalo 0\le t\le 4.
Informações que temos:
  • A parametrização é \vec{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle com x(t)=t e y(t)=t^{3/2}.
  • O intervalo de parâmetro é [0,4].
    A pergunta é: calcular o comprimento da curva no intervalo dado.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (e explicar cada termo). Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle com t em [a,b], o comprimento L é dado por
L=\int_a^b \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt,
onde \vec{r}\,'(t)=\langle x'(t),y'(t)\rangle é a derivada vetor e \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2} é a norma (módulo) desse vetor.
Em palavras: soma-se (integral) os pequenos comprimentos elementares \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt ao longo do intervalo.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t).
  • Para x(t)=t temos x'(t)=1.
  • Para y(t)=t^{3/2} usamos a regra do poder: se y(t)=t^{p} então y'(t)=p\,t^{p-1}. Aqui p=\tfrac{3}{2}, logo
y'(t)=\frac{3}{2}\,t^{\frac{1}{2}}.
Observação: t^{1/2}=\sqrt{t}. Para t\in[0,4] essa raiz é não-negativa, então não há ambiguidade de sinal.

Passo 4

Formar a norma \|\vec{r}\,'(t)\| e simplificar a expressão sob a raiz:
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2} =\sqrt{1^2+\left(\frac{3}{2}t^{1/2}\right)^2} =\sqrt{1+\frac{9}{4}t}.
Portanto a integral do comprimento fica
L=\int_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}t}\,dt.

Passo 5

Resolver a integral por substituição linear. Façamos a substituição
u=1+\frac{9}{4}t.
Então
du=\frac{9}{4}\,dt \quad\Rightarrow\quad dt=\frac{4}{9}\,du.
Troca de limites: quando t=0 temos u=1. Quando t=4 temos u=1+\frac{9}{4}\cdot4=1+9=10. Substituindo na integral:
L=\int_{u=1}^{u=10}\sqrt{u}\cdot\frac{4}{9}\,du =\frac{4}{9}\int_{1}^{10}u^{1/2}\,du.

Passo 6

Calcular a integral de u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\frac{4}{9}\int_{1}^{10}u^{1/2}\,du =\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{10} =\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left(10^{3/2}-1^{3/2}\right).
Multiplicando os fatores constantes:
\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}.
E 10^{3/2}=(\sqrt{10})^3=10\sqrt{10}. Portanto
L=\frac{8}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right).

Passo 7

(Interpretando o resultado) A expressão \dfrac{8}{27}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr) é o comprimento exato da curva. Se quiser uma aproximação numérica, calcula-se 10\sqrt{10}\approx10\cdot3{,}16227766\approx31{,}6227766, daí
10\sqrt{10}-1\approx30{,}6227766
e
L\approx\frac{8}{27}\cdot30{,}6227766\approx9{,}073.
Mas a forma exata é preferível para prova.

Resposta

\dfrac{8}{27}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr)

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