Calcule o comprimento do gráfico de
(Considere a curva planar
).
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do gráfico da curva planar dada por
no intervalo
.
Informações que temos:
Informações que temos:
- A parametrização é
com e . - O intervalo de parâmetro é
.
A pergunta é: calcular o comprimento da curva no intervalo dado.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar (e explicar cada termo). Para uma curva parametrizada por
com
em
, o comprimento
é dado por
onde
é a derivada vetor e
é a norma (módulo) desse vetor.
Em palavras: soma-se (integral) os pequenos comprimentos elementares ao longo do intervalo.
Em palavras: soma-se (integral) os pequenos comprimentos elementares
Passo 3
Calcular as derivadas
e
.
- Para
temos . - Para
usamos a regra do poder: se então . Aqui , logo
Observação:
. Para
essa raiz é não-negativa, então não há ambiguidade de sinal.
Passo 4
Formar a norma
e simplificar a expressão sob a raiz:
Portanto a integral do comprimento fica
Passo 5
Resolver a integral por substituição linear. Façamos a substituição
Então
Troca de limites: quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral:
Passo 6
Calcular a integral de
. A primitiva de
é
. Assim
Multiplicando os fatores constantes:
E
. Portanto
Passo 7
(Interpretando o resultado) A expressão
é o comprimento exato da curva. Se quiser uma aproximação numérica, calcula-se
, daí
e
Mas a forma exata é preferível para prova.