Para a função
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
escreva a equação das superfícies de nível.

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\, e pede para escrever as equações das superfícies de nível.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função real de três variáveis é \,f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}\, dada por \,f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,.
  • A pergunta quer as equações das superfícies onde a função toma um valor constante (ou seja, os conjuntos \{(x,y,z):f(x,y,z)=\text{constante}\}).

Passo 2

O que é uma superfície de nível (explicação didática):
Para uma função \,f(x,y,z)\,, uma superfície de nível associada a um número real \,c\, é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
f(x,y,z)=c.
Aqui \,c\, é chamado de valor de nível. Em palavras: fixo um \,c\,, pegamos todos os pontos no espaço onde a função tem esse valor — isso dá uma superfície (ou vazio, ou um ponto) em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Aplicando a definição à função dada: colocar \,f(x,y,z)=c\,. Assim obtemos a equação geral das superfícies de nível:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=c,
onde \,c\, é um número real fixo (o valor do nível).

Passo 4

Interpretação geométrica e domínio dos níveis (passo a passo pedagógico):
  • Note que para quaisquer x,y,z reais tem-se x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 0. Portanto \,f(x,y,z)\ge 0 para todo ponto. Isso implica que só existem superfícies de nível para \,c\ge 0. Para \,c<0 não há pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).
  • Se \,c=0\, então
x^{2}+y^{2}+z^{2}=0
implica x=0,\;y=0,\;z=0. Logo o nível c=0 é o ponto (0,0,0).
  • Se \,c>0\, então a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=c
é a equação de uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio
r=\sqrt{c}.
Assim cada nível positivo corresponde a uma esfera de raio \sqrt{c}.

Passo 5

Um comentário útil (como usar isso numa prova):
  • Para identificar rapidamente o tipo de superfície, compare com a equação padrão da esfera centrada em (0,0,0): \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,. Aqui basta reconhecer que r^{2}=c, logo r=\sqrt{c}.
  • Se for pedido normal à superfície num ponto, pode-se usar o gradiente. Para esta função
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z),
que é justamente o vetor radial (normal às esferas) em cada ponto da superfície.

Resposta

x^{2}+y^{2}+z^{2}=c,\quad c\ge 0
Para \,c>0: esfera centrada em (0,0,0) de raio \sqrt{c}.
Para \,c=0: ponto (0,0,0).
Para \,c<0: conjunto vazio.

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