Para a função
escreva a equação das superfícies de nível.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para escrever as equações das superfícies de nível.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A função real de três variáveis é
dada por . - A pergunta quer as equações das superfícies onde a função toma um valor constante (ou seja, os conjuntos
).
Passo 2
O que é uma superfície de nível (explicação didática):
Para uma função , uma superfície de nível associada a um número real
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Para uma função
Aqui
é chamado de valor de nível. Em palavras: fixo um
, pegamos todos os pontos no espaço onde a função tem esse valor — isso dá uma superfície (ou vazio, ou um ponto) em
.
Passo 3
Aplicando a definição à função dada: colocar
. Assim obtemos a equação geral das superfícies de nível:
onde
é um número real fixo (o valor do nível).
Passo 4
Interpretação geométrica e domínio dos níveis (passo a passo pedagógico):
- Note que para quaisquer
reais tem-se . Portanto para todo ponto. Isso implica que só existem superfícies de nível para . Para não há pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio). - Se
então
implica
. Logo o nível
é o ponto
.
- Se
então a equação
é a equação de uma esfera centrada na origem
com raio
Assim cada nível positivo corresponde a uma esfera de raio
.
Passo 5
Um comentário útil (como usar isso numa prova):
- Para identificar rapidamente o tipo de superfície, compare com a equação padrão da esfera centrada em
: . Aqui basta reconhecer que , logo . - Se for pedido normal à superfície num ponto, pode-se usar o gradiente. Para esta função
que é justamente o vetor radial (normal às esferas) em cada ponto da superfície.
Resposta
Para
: esfera centrada em
de raio
.
Para : ponto
.
Para : conjunto vazio.
Para
Para