Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida: y d x-(y e^y-2 x) d y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) aí:
y , dx - (y e^y - 2x) dy = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas e métodos para encontrar soluções gerais. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma M , dx + N , dy = 0 é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Identificando M e N na nossa equação:
M = y
N = -(y e^y - 2x)
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(y) = 1
partial Npartial x = partialpartial x(- y e^y + 2x) = 2
Como 1 neq 2, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de x ou y. Vamos supor que o fator μ depende apenas de y.
Para que a equação se torne exata após multiplicarmos por μ(y), a seguinte condição deve ser satisfeita:
d μdy = μ (partial Mpartial y - partial Npartial x) / N
Substituindo os valores que temos:
d μdy = μ (1 - 2) / (- y e^y + 2x)
Essa abordagem está complicando, então vamos tentar outro método: rearranjar a equação para uma forma mais manejável, talvez como uma equação separável.

Passo 4

Vamos reescrever a equação original dividindo tudo por dx:
y - (y e^y - 2x) dydx = 0
Isolando dydx:
dydx = yy e^y - 2x
Ainda parece complicada, então tentamos outra abordagem. Vamos verificar se a equação é homogênea ou se pode ser transformada em uma equação linear.

Passo 5

Observando a equação:
y , dx - (y e^y - 2x) dy = 0
Podemos tentar rearranjar para termos dxdy:
dxdy = y e^y - 2xy
Agora, temos uma equação linear na forma:
dxdy + P(y) x = Q(y)
Onde:
P(y) = 2y
Q(y) = e^y

Passo 6

Para resolver a equação linear, usamos o fator integrante mu(y), que é dado por:
mu(y) = e^integral P(y) , dy = e^integral 2y , dy = e^2 ln|y| = y^2
Multiplicamos toda a equação por μ(y):
y^2 dxdy + y^2 cdot 2y x = y^2 e^y
y^2 dxdy + 2y x = y^2 e^y
A equação agora é exata e pode ser escrita como a derivada de (mu(y) x):
ddy(y^2 x) = y^2 e^y

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a y:
integral ddy(y^2 x) , dy = integral y^2 e^y , dy
Isso resulta em:
y^2 x = e^y(y^2 - 2y + 2) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, isolamos x para obter a solução geral:
x = e^y(y^2 - 2y + 2) + Cy^2

Resposta

A solução geral da EDO é:
x = e^y(y^2 - 2y + 2)y^2 + Cy^2
E está definida para todos os valores de y diferentes de zero, ou seja, no intervalo y in R setminus 0.

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