Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) aí:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas e métodos para encontrar soluções gerais. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se:
Identificando
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou
. Vamos supor que o fator
depende apenas de
.
Para que a equação se torne exata após multiplicarmos por
, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Substituindo os valores que temos:
Essa abordagem está complicando, então vamos tentar outro método: rearranjar a equação para uma forma mais manejável, talvez como uma equação separável.
Passo 4
Vamos reescrever a equação original dividindo tudo por
:
Isolando
:
Ainda parece complicada, então tentamos outra abordagem. Vamos verificar se a equação é homogênea ou se pode ser transformada em uma equação linear.
Passo 5
Observando a equação:
Podemos tentar rearranjar para termos
:
Agora, temos uma equação linear na forma:
Onde:
Passo 6
Para resolver a equação linear, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
A equação agora é exata e pode ser escrita como a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da EDO é:
E está definida para todos os valores de
diferentes de zero, ou seja, no intervalo
.