Analise a expressão abaixo:
dy / dx-1 / 2 x=0
De acordo com a expressão dada, avalie as afirmativas abaixo:
I. A equação dada é diferencial de primeira ordem.
II. A solução geral para a equação dada é igual a y(x)=1 / 4 x^wed>= 2+k.
III. A solução geral da expressão dada não pode ser obtida.
É correto o que se afirma em
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  • I e III, apenas.
  • I e II, apenas.
  • II, apenas.
  • III, apenas.
  • I, apenas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para analisarmos três afirmações sobre ela. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial, identificar sua ordem e encontrar sua solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
dydx - 12x = 0
Isso é uma equação diferencial porque envolve uma função desconhecida y e sua derivada dydx .

Passo 3

A ordem de uma equação diferencial é definida pela derivada de maior ordem presente na equação. Nesse caso, a derivada é a primeira ( dydx ), então estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Isso confirma a afirmação I.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar a solução geral. A equação pode ser rearranjada assim:
dydx = 12x
Para encontrar y(x) , integrando ambos os lados em relação a x :
y(x) = integral 12x , dx
A integral de 1x é ln|x| , então:
y(x) = 12 ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Olha só, a solução que encontramos é y(x) = 12 ln|x| + C . A afirmação II diz que a solução geral é y(x) = 14x^2 + k . Isso não coincide com a solução que obtivemos, então a afirmação II está incorreta.

Passo 6

A afirmação III diz que a solução geral da expressão dada não pode ser obtida. Como conseguimos encontrar a solução y(x) = 12 ln|x| + C , a afirmação III também está incorreta.

Resposta

É correto o que se afirma em I, apenas.

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