Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa analisar. O objetivo é verificar se ela é separável. Se for, separamos as variáveis. Se não for, fazemos uma substituição que ajude a separar as variáveis. Para isso, vamos usar conceitos de equações separáveis e substituições para equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que foi dada:
Vamos reescrever essa equação na forma comum de uma equação diferencial, isolando
:
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é homogênea, o que nos permite fazer uma substituição útil. Para isso, fazemos:
Isso implica que:
Substituindo esses em nossa equação diferencial:
Simplificando:
Passo 4
Agora, a equação ficou separável! Podemos separar as variáveis
e
:
Resposta
Após fazer a substituição
, a equação diferencial torna-se separável e fica: