Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
(y^2-x y) d x+x^2 d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa analisar. O objetivo é verificar se ela é separável. Se for, separamos as variáveis. Se não for, fazemos uma substituição que ajude a separar as variáveis. Para isso, vamos usar conceitos de equações separáveis e substituições para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que foi dada:
(y^2 - x y) , dx + x^2 , dy = 0
Vamos reescrever essa equação na forma comum de uma equação diferencial, isolando dydx :
dydx = -y^2 - x yx^2

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é homogênea, o que nos permite fazer uma substituição útil. Para isso, fazemos:
v = yx
Isso implica que:
y = v x e dydx = v + x dvdx
Substituindo esses em nossa equação diferencial:
v + x dvdx = -(v x)^2 - x (v x)x^2 = -v^2 x^2 - v x^2x^2 = -v^2 + v
Simplificando:
x dvdx = -v^2

Passo 4

Agora, a equação ficou separável! Podemos separar as variáveis v e x :
dvv^2 = -dxx

Resposta

Após fazer a substituição v = yx , a equação diferencial torna-se separável e fica:
dvv^2 = -dxx

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