Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a equação diferencial ordinária (EDO)
. A gente vai ver se essa equação é separável, ou seja, se dá para separar as variáveis
e
de um jeito que a gente consiga integrar. Se não for direto, vamos tentar uma substituição que facilite a separação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO separável e como fazer substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação
é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever a parte com
sozinha de um lado e a parte com
do outro lado, tipo
.
Passo 3
Olha só, na nossa equação
, temos uma mistura de
e
dentro da raiz quadrada. Isso não permite separar facilmente
de
de forma direta. Então, parece que a equação não é separável na forma que está.
Passo 4
Quando a equação não é diretamente separável, a gente tenta uma substituição para simplificar. Vamos supor que
. Isso pode ajudar a juntar os termos de uma maneira mais simples.
Passo 5
Com
, a gente precisa encontrar
. Sabemos que:
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo na equação anterior:
Passo 7
Agora, temos uma nova equação
, que ainda não é separável de imediato. Mas vamos rearranjar para tentar separar as variáveis:
Passo 8
Pronto, agora conseguimos separar as variáveis
e
. A integral fica:
Resposta
Após a substituição
, a equação diferencial separável fica: