Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
d yd x=raizx+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a equação diferencial ordinária (EDO) dydx = raizx + y. A gente vai ver se essa equação é separável, ou seja, se dá para separar as variáveis x e y de um jeito que a gente consiga integrar. Se não for direto, vamos tentar uma substituição que facilite a separação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO separável e como fazer substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação dydx = raizx + y é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever a parte com y sozinha de um lado e a parte com x do outro lado, tipo f(y) dy = g(x) dx.

Passo 3

Olha só, na nossa equação dydx = raizx + y, temos uma mistura de x e y dentro da raiz quadrada. Isso não permite separar facilmente y de x de forma direta. Então, parece que a equação não é separável na forma que está.

Passo 4

Quando a equação não é diretamente separável, a gente tenta uma substituição para simplificar. Vamos supor que u = x + y. Isso pode ajudar a juntar os termos de uma maneira mais simples.

Passo 5

Com u = x + y, a gente precisa encontrar dudx. Sabemos que:
dudx = ddx(x) + ddx(y) = 1 + dydx

Passo 6

Sabemos que dydx = raizx + y = raizu. Substituindo na equação anterior:
dudx = 1 + raizu

Passo 7

Agora, temos uma nova equação dudx = 1 + raizu, que ainda não é separável de imediato. Mas vamos rearranjar para tentar separar as variáveis:
du1 + raizu = dx

Passo 8

Pronto, agora conseguimos separar as variáveis u e x. A integral fica:
integral 11 + raizu , du = integral 1 , dx

Resposta

Após a substituição u = x + y, a equação diferencial separável fica:
11 + raizu , du = dx

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