Esta equação não é exata. Entretanto, pode se tornar exata se for multiplicada por um fator integrante que depende apenas de
. Encontre-o e determine a solução geral da equação.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado:
A equação não é exata inicialmente, mas podemos torná-la exata multiplicando por um fator integrante que depende apenas de
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Comparando as derivadas:
Claramente,
Portanto, a equação não é exata.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um fator integrante
que depende apenas de
para tornar a equação exata. Ou seja, queremos que:
seja uma equação exata.
Passo 6
A condição para que essa nova equação seja exata é:
Simplificando, obtemos uma equação para
.
Passo 7
Para um fator integrante que depende apenas de
, a condição se reduz a:
Vamos calcular o lado esquerdo dessa equação.
Passo 8
Já sabemos que:
E como
, temos:
Passo 9
Então, a equação para
fica:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 10
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Simplificando:
Essa nova equação é exata.
Passo 11
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 12
Agora, tomamos a derivada de
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 13
Assim, a função
é:
A solução geral da equação diferencial é
, ou seja:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: