(1,0) Esta equação não é exata. Entretanto, pode se tornar exata se for multiplicada por um fator integrante que depende apenas de x. Encontre-o e determine a solução geral da equação.
(2 y^2+2 y+4 x^2) d x+(2 x y+x) d y=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado:
(2 y^2 + 2 y + 4 x^2) dx + (2 x y + x) dy = 0
A equação não é exata inicialmente, mas podemos torná-la exata multiplicando por um fator integrante que depende apenas de x . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y :
M(x,y) = 2 y^2 + 2 y + 4 x^2
partial Mpartial y = 4 y + 2
Agora, calculando partial Npartial x :
N(x,y) = 2 x y + x
partial Npartial x = 2 y + 1

Passo 4

Comparando as derivadas:
partial Mpartial y = 4 y + 2 e partial Npartial x = 2 y + 1
Claramente,
4 y + 2 neq 2 y + 1
Portanto, a equação não é exata.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) que depende apenas de x para tornar a equação exata. Ou seja, queremos que:
mu(x) (2 y^2 + 2 y + 4 x^2) dx + mu(x) (2 x y + x) dy = 0
seja uma equação exata.

Passo 6

A condição para que essa nova equação seja exata é:
partial (mu M)partial y - partial (mu N)partial xmu N = d (ln mu)dx
Simplificando, obtemos uma equação para mu(x) .

Passo 7

Para um fator integrante que depende apenas de x , a condição se reduz a:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = d (ln mu)dx
Vamos calcular o lado esquerdo dessa equação.

Passo 8

Já sabemos que:
partial Mpartial y - partial Npartial x = (4 y + 2) - (2 y + 1) = 2 y + 1
E como N = 2 x y + x , temos:
2 y + 12 x y + x = 2 y + 1x (2 y + 1) = 1x

Passo 9

Então, a equação para mu(x) fica:
d (ln mu)dx = 1x
Integrando ambos os lados:
ln mu = ln x + C
Onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
mu(x) = k x
Podemos escolher k = 1 para simplificar, então:
mu(x) = x

Passo 10

Agora, multiplicamos a equação original por mu(x) = x :
x (2 y^2 + 2 y + 4 x^2) dx + x (2 x y + x) dy = 0
Simplificando:
(2 x y^2 + 2 x y + 4 x^3) dx + (2 x^2 y + x^2) dy = 0
Essa nova equação é exata.

Passo 11

Como a equação é exata, existe uma função F(x,y) tal que:
partial Fpartial x = 2 x y^2 + 2 x y + 4 x^3
partial Fpartial y = 2 x^2 y + x^2
Vamos integrar partial Fpartial x em relação a x :
F(x,y) = integral (2 x y^2 + 2 x y + 4 x^3) dx = y^2 x^2 + y x^2 + x^4 + h(y)
Onde h(y) é uma função de y .

Passo 12

Agora, tomamos a derivada de F(x,y) em relação a y e igualamos a partial Fpartial y :
partial Fpartial y = 2 y x^2 + x^2 + h'(y) = 2 x^2 y + x^2
Isso implica que h'(y) = 0 , portanto, h(y) é uma constante, que podemos chamar de C .

Passo 13

Assim, a função F(x,y) é:
F(x,y) = y^2 x^2 + y x^2 + x^4 + C
A solução geral da equação diferencial é F(x,y) = 0 , ou seja:
y^2 x^2 + y x^2 + x^4 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 x^2 + y x^2 + x^4 = C

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