Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial. Basicamente, temos uma equação diferencial que relaciona a derivada de
em relação a
com
e
. A equação é:
E a condição inicial que precisamos satisfazer é
. Nosso objetivo é encontrar a função
que resolve essa equação e passa por esse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. Observando a equação:
Vemos que ela é não linear devido ao termo
. Mas podemos reescrevê-la de uma forma que facilita a solução. Vamos colocar todos os termos com
no lado esquerdo:
Agora, percebemos que isso se assemelha a uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Vamos definir:
Então, derivando
em relação a
:
Agora, substituímos
da nossa equação original:
Lembrando que
, podemos escrever:
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Onde
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Portanto:
Passo 5
Lembrando que
, então:
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Por fim, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Substituindo
na expressão para
:
Então, a solução do problema de valor inicial é: