(2,0) Resolva o problema de valor inicial.
d yd x=2 yx-x^2 y^2
y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial. Basicamente, temos uma equação diferencial que relaciona a derivada de y em relação a x com y e x . A equação é:
dydx = 2yx - x^2y^2
E a condição inicial que precisamos satisfazer é y(1) = 1 . Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que resolve essa equação e passa por esse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. Observando a equação:
dydx = 2yx - x^2y^2
Vemos que ela é não linear devido ao termo y^2 . Mas podemos reescrevê-la de uma forma que facilita a solução. Vamos colocar todos os termos com y no lado esquerdo:
dydx - 2xy = -x^2y^2
Agora, percebemos que isso se assemelha a uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
No nosso caso, P(x) = -2x , Q(x) = -x^2 e n = 2 .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Vamos definir:
v = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1
Então, derivando v em relação a x :
dvdx = -y^-2 dydx
Agora, substituímos dydx da nossa equação original:
dvdx = -y^-2 ( 2yx - x^2y^2 ) = -2xy^-1 + x^2
Lembrando que v = y^-1 , podemos escrever:
dvdx + 2xv = x^2
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
dvdx + P(x)v = Q(x)
Onde P(x) = 2x e Q(x) = x^2 .

Passo 4

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2
Multiplicamos toda a equação por mu(x) :
x^2 dvdx + x^2 cdot 2xv = x^2 cdot x^2 Rightarrow x^2 dvdx + 2x v = x^4
A equação agora fica:
ddx(x^2v) = x^4
Integrando ambos os lados:
x^2v = integral x^4 dx = x^55 + C
Onde C é a constante de integração. Portanto:
v = x^55x^2 + Cx^2 = x^35 + Cx^2

Passo 5

Lembrando que v = y^-1 , então:
y = 1v = 1x^35 + Cx^2 = 1x^35 + Cx^-2 = 1x^35 + Cx^2
Agora, vamos simplificar a expressão:
y = 1x^35 + Cx^2 = 5x^2x^5 + 5C

Passo 6

Por fim, aplicamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar C :
1 = 5 cdot 1^21^5 + 5C Rightarrow 1 = 51 + 5C
Multiplicando ambos os lados por 1 + 5C :
1 + 5C = 5 Rightarrow 5C = 4 Rightarrow C = 45

Resposta

Substituindo C = 45 na expressão para y :
y = 5x^2x^5 + 5 cdot 45 = 5x^2x^5 + 4
Então, a solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 5x^2x^5 + 4

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