((2,0)) Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
((x{2}+y{2}) d x+x y d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^2+y^2)\,dx + x\,y\,dy = 0.
Ela não é separável em x e y diretamente, mas notamos que os termos são homogêneos de grau 2. O conteúdo aqui é equações homogêneas de primeira ordem, e a técnica é usar a substituição
y = v\,x,
que costuma tornar esse tipo de equação separável.

Passo 2

Fazendo y = v\,x obtemos
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Em forma de derivada, a equação original fica
(x^2+y^2) + x\,y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Substituindo y=vx e \frac{dy}{dx}=v + x\,\frac{dv}{dx}, temos
x^2 + v^2 x^2 + x\cdot(vx)\bigl(v + x\,\tfrac{dv}{dx}\bigr)=0.
Dividindo tudo por x^2 resulta em
1 + 2v^2 + v\,x\,\frac{dv}{dx} = 0.

Passo 3

Isolando o termo com \frac{dv}{dx} e reorganizando, vem
v\,x\,\frac{dv}{dx} = -\bigl(1 + 2v^2\bigr).
Agora é imediato separar as variáveis:
\frac{v}{1 + 2v^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Resposta

A substituição y = v\,x transforma a equação em
\frac{v}{1 + 2v^2}\,dv = -\frac{dx}{x},
que está separada em v e x.

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