((2,0)) Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
((x{2}+y{2}) d x+x y d y=0)
((x{2}+y{2}) d x+x y d y=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Ela não é separável em
e
diretamente, mas notamos que os termos são homogêneos de grau 2. O conteúdo aqui é equações homogêneas de primeira ordem, e a técnica é usar a substituição
que costuma tornar esse tipo de equação separável.
Passo 2
Fazendo
obtemos
Em forma de derivada, a equação original fica
Substituindo
e
, temos
Dividindo tudo por
resulta em
Passo 3
Isolando o termo com
e reorganizando, vem
Agora é imediato separar as variáveis:
Resposta
A substituição
transforma a equação em
que está separada em
e
.