((2,0)) Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
((d y)/(d x)=(x+y+2)^{2})

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = (x + y + 2)^2.
Queremos verificar se ela é separável; caso não seja, aplicaremos uma substituição apropriada para torná-la separável.

Passo 2

Para ser separável, o termo à direita deveria poder ser escrito como produto de função de x por função de y. Como (x + y + 2)^2 mistura x e y somados, não há como fazer essa separação diretamente. Portanto, a ODE não é separável no formato original.

Passo 3

Observamos que a parte não separável depende de x+y. Definimos a substituição
u = x + y + 2.
Diferenciando em relação a x, chega-se a
\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}.

Passo 4

Na ODE original temos \frac{dy}{dx} = (x + y + 2)^2 = u^2. Substituindo em \frac{du}{dx}, obtemos
\frac{du}{dx} = 1 + u^2.

Passo 5

A equação em u já é separável. Basta rearranjar:
\frac{du}{u^2 + 1} = dx.

Resposta

A substituição
u = x + y + 2
transforma a equação em
\frac{du}{dx} = u^2 + 1
e, portanto, na forma separável
\frac{du}{u^2 + 1} = dx.

Exercícios relacionados