((2,0)) Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver.
((d y)/(d x)=(x+y+2)^{2})
((d y)/(d x)=(x+y+2)^{2})
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
Queremos verificar se ela é separável; caso não seja, aplicaremos uma substituição apropriada para torná-la separável.
Passo 2
Para ser separável, o termo à direita deveria poder ser escrito como produto de função de
por função de
. Como
mistura
e
somados, não há como fazer essa separação diretamente. Portanto, a ODE não é separável no formato original.
Passo 3
Observamos que a parte não separável depende de
. Definimos a substituição
Diferenciando em relação a
, chega-se a
Passo 4
Na ODE original temos
. Substituindo em
, obtemos
Passo 5
A equação em
já é separável. Basta rearranjar:
Resposta
A substituição
transforma a equação em
e, portanto, na forma separável