Uma análise espectral cuidadosa mostra que a luz amarela das lâmpadas de sódio (usadas nos postes de rua) é uma mistura de fótons de dois comprimentos de onda, 589,0 \mathrm{~nm} e 589,6 \mathrm{~nm}. Qual é a diferença de energia (em Joule) entre os fótons com estes comprimentos de onda?

Passo 1

O enunciado pede a diferença de energia entre fótons com comprimentos de onda 589{,}0\\ \mathrm{nm} e 589{,}6\\ \mathrm{nm}.
Dados fornecidos (diretamente do enunciado):
\lambda_1 = 589{,}0\\ \mathrm{nm},\qquad \lambda_2 = 589{,}6\\ \mathrm{nm}.
A pergunta é: qual é \Delta E = E_1 - E_2 em joule, onde E_i é a energia do fóton de comprimento de onda \lambda_i.

Passo 2

Conceito-chave: a energia de um fóton em função do comprimento de onda é dada pela relação de Planck combinada com a relação de onda:
E = \frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Vou explicar cada símbolo:
  • E é a energia do fóton (em joule, \mathrm{J});
  • h é a constante de Planck; valor adotado: h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s};
  • c é a velocidade da luz no vácuo; valor adotado: c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}};
  • \lambda é o comprimento de onda em metros ( \mathrm{m}). Note que o enunciado dá \lambda em nanômetros ( \mathrm{nm}), portanto é preciso converter para metros usando 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Expressamos a diferença de energia usando a fórmula para cada fóton e subtraindo:
\Delta E = E_1 - E_2 = hc\!\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right).
Para evitar perda de precisão ao subtrair dois números parecidos, é útil reescrever a diferença de frações como
\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}.
Portanto
\Delta E = hc\,\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}.
Essa forma deixa claro que a pequena diferença \lambda_2-\lambda_1 aparece no numerador e é dividida pelo produto dos comprimentos de onda.

Passo 4

Convertemos os comprimentos de onda para metros:
\lambda_1 = 589{,}0\\ \mathrm{nm} = 589{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}890\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\lambda_2 = 589{,}6\\ \mathrm{nm} = 589{,}6\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}896\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
A diferença entre os comprimentos de onda é
\lambda_2-\lambda_1 = 0{,}6\\ \mathrm{nm} = 0{,}6\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 6{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calculamos o fator \dfrac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}. Primeiro o produto \lambda_1\lambda_2:
\lambda_1\lambda_2 = (5{,}890\times10^{-7})(5{,}896\times10^{-7}) = 3{,}472744\times10^{-13}\\ \mathrm{m^2}.
Assim
\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2} = \frac{6{,}0\times10^{-10}}{3{,}472744\times10^{-13}} = 1{,}728\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Calculamos hc e então \Delta E. O produto hc vale (usando os valores dados para h e c):
hc = (6{,}62607015\times10^{-34})(2{,}99792458\times10^{8}) \approx 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Logo
\Delta E = hc\cdot 1{,}728\times10^{3} \approx (1{,}98644586\times10^{-25})(1{,}728\times10^{3}).
Fazendo a multiplicação obtemos
\Delta E \approx 3{,}432578446\times10^{-22}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretando o resultado: a diferença de energia entre os fótons de 589{,}0\\ \mathrm{nm} e 589{,}6\\ \mathrm{nm} é da ordem de 10^{-22}\\ \mathrm{J}, um valor muito pequeno — faz sentido, porque as duas cores são muito próximas no espectro.

Resposta

3{,}433\times10^{-22}\\ \mathrm{J}

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