Um átomo de hidrogênio está em um estado excitado com \mathrm{n}=2, com uma energia \mathrm{E}_{2}=-3,4 \mathrm{eV}. Ocorre uma transição para o estado \mathrm{n}=1, com energia \mathrm{E}_{1}=-13,6 \mathrm{eV}, e um fóton é emitido. Qual a frequência da radiação emitida em Hz ? (Dados: 1 \mathrm{eV}=1,6.10^{-19} \mathrm{~J} ; \mathrm{h}=6,63.10^{-34} Js.)

Passo 1

O enunciado dá um átomo de hidrogénio que faz uma transição do nível excitado \mathrm{n}=2 para o nível \mathrm{n}=1. As energias dos níveis são fornecidas e pede-se a frequência da radiação emitida em Hz. Dados fornecidos (vou listar explicitamente tudo que veio no enunciado):
\mathrm{E}_2 = -3,4\\ \mathrm{eV},
\mathrm{E}_1 = -13,6\\ \mathrm{eV},
1\\ \mathrm{eV} = 1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
h = 6,63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
O que nos pediram: calcular a frequência da radiação emitida, em \mathrm{Hz}.

Passo 2

Conceito físico importante (passo-a-passo didático): quando um átomo faz uma transição de um nível de energia mais alto para um nível mais baixo, ele emite um fóton cuja energia é igual à diferença de energia entre os níveis. Escrevemos isso assim:
E_{\text{fóton}} = \left|\Delta E\right| = \left|E_{\text{final}} - E_{\text{inicial}}\right|.ó
Aqui o nível inicial é \mathrm{n}=2 e o final é \mathrm{n}=1. Não se assuste com os sinais negativos das energias ligadas — a energia do fóton é a diferença (valor absoluto) entre esses números.

Passo 3

Calcule a diferença de energia em electronvolts (eV). Subtraindo:
\Delta E = E_1 - E_2 = (-13,6)\\\ -\\ (-3,4) = -13,6 + 3,4 = -10,2\\ \mathrm{eV}.
A energia do fóton emitido é o valor absoluto:
E_{\text{fóton}} = \left|\Delta E\right| = 10,2\\ \mathrm{eV}.ó
Explicação curta: o sinal negativo só indica que o estado final é mais ligado (mais negativo); a energia emitida tem magnitude 10,2\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Agora convertemos essa energia de \mathrm{eV} para joules, porque a constante de Planck h está em \mathrm{J\,s}. Usamos a relação dada:
1\\ \mathrm{eV} = 1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Portanto
E_{\text{fóton}} = 10,2\\ \mathrm{eV}\times\left(1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}\right).ó
Calcule a multiplicação passo a passo:
10,2\times1,6 = 16,32,
e juntando as potências de dez:
E_{\text{fóton}} = 16,32\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1,632\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.ó
Observação didática: para simplificar a notação, movemos a vírgula uma casa decimal para a esquerda e aumentamos o expoente em 1, por isso 16,32\times10^{-19}=1,632\times10^{-18}.

Passo 5

Relação entre energia do fóton e frequência (fórmula fundamental de Planck): a energia de um fóton está relacionada com a sua frequência \nu por
E_{\text{fóton}} = h\,\nu,ó
onde h é a constante de Planck (em \mathrm{J\,s}) e \nu é a frequência em \mathrm{Hz}. Queremos \nu, então isolamos:
\nu = \frac{E_{\text{fóton}}}{h}.ó
Aqui E_{\text{fóton}}ó já está em joules e h em \mathrm{J\,s}, então o resultado terá unidades de \mathrm{s^{-1}}=\mathrm{Hz}.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos:
E_{\text{fóton}} = 1,632\times10^{-18}\\ \mathrm{J},ó
h = 6,63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Logo
\nu = \frac{1,632\times10^{-18}}{6,63\times10^{-34}}\\ \mathrm{Hz}.
Separe a divisão em mantissas e potências de dez:
\nu = \left(\frac{1,632}{6,63}\right)\times10^{-18 -(-34)}\\ \mathrm{Hz} = \left(\frac{1,632}{6,63}\right)\times10^{16}\\ \mathrm{Hz}.
Agora fazemos a divisão das mantissas (faça desse jeito na prova sem calculadora aproximando):
\frac{1,632}{6,63}\approx0,2461\quad\text{(porque }6,63\times0,2461\approx1,632\text{)}.
Portanto
\nu \approx 0,2461\times10^{16}\\ \mathrm{Hz} = 2,461\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com duas casas significativas (os dados tinham 3–4 algarismos, mas é comum dar 3 significativos aqui), podemos escrever
\nu \approx 2,46\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Verificação rápida (intuitiva): essa frequência está na região ultravioleta do espectro (pequena ordem de magnitude típica da linha Lyman- \alpha), o que faz sentido para uma transição do nível 2 para 1 do hidrogénio. Isso é só para você ter confiança no resultado — não era pedido, mas ajuda a checar se o número é plausível. Força aí, você mandou bem acompanhando o raciocínio!

Resposta

2,46\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}

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