Análise de Estabilidade em Amplificadores Multiestágio
No projeto de amplificadores de potência para sistemas de rádiofrequência, o ganho acumulado após n estágios segue um modelo nãolinear. Para garantir a estabilidade do sistema, é essencial determinar se o ganho por estágio converge para um valor finito.
Calcule: A convergência ou divergência da sequência:
S_{n}=\frac{(2 n+5)^{2 n+5} \cdot n^{n-3}}{(4 n+1)^{n+2} \cdot(n+3)^{2 n}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a sequência
S_{n}=\frac{(2n+5)^{2n+5}\,n^{\,n-3}}{(4n+1)^{\,n+2}\,(n+3)^{2n}}
e queremos saber se ela converge e, em caso afirmativo, para que valor. O conteúdo é análise de sequência usando o método do logaritmo para obter o limite.

Passo 2

Definimos \ell_{n}=\ln S_{n}. Então
\ell_{n}=(2n+5)\ln(2n+5)\;+\;(n-3)\ln n\;-\;(n+2)\ln(4n+1)\;-\;2n\ln(n+3).
Para encontrar \lim_{n\to\infty}S_{n}, basta achar \lim_{n\to\infty}\ell_{n} e depois aplicar a exponencial.

Passo 3

Usamos as expansões para n\to\infty:
\ln(2n+5)=\ln(2n)+\frac{5}{2n}+O\!\bigl(\tfrac1{n^2}\bigr), \quad \ln(4n+1)=\ln(4n)+\frac{1}{4n}+O\!\bigl(\tfrac1{n^2}\bigr), \quad \ln(n+3)=\ln n+\frac{3}{n}+O\!\bigl(\tfrac1{n^2}\bigr).
Substituindo e agrupando, verifica-se que todos os termos proporcionais a n\ln n e a \ln n se cancelam, sobrando apenas termos constantes. O resultado é
\ell_{n}=\ln2-\tfrac{5}{4}+o(1),
logo \lim_{n\to\infty}\ell_{n}=\ln2-\tfrac{5}{4}.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\exp\!\bigl(\lim_{n\to\infty}\ell_{n}\bigr) =\exp\!\bigl(\ln2-\tfrac{5}{4}\bigr) =2\,e^{-5/4},
concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}S_{n}=2\,e^{-5/4}.

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