Questão 4. O valor da integral
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{4}}{\sqrt{\left(x^{5}+2\right)^{3}}} d x é:
[1] \frac{\sqrt{2}}{5}
a) \frac{\pi}{4}
b) \frac{1}{2}
c) -\infty
d) \frac{\sqrt{2}}{3}
e) \infty
g) -2
h) \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{4}}{\sqrt{\bigl(x^{5}+2\bigr)^{3}}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição em uma integral imprópria, seguida de aplicação da regra de potências para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Observamos que a parte difícil é o termo (x^{5}+2)^{-3/2}. Note que se fizermos
t = x^{5},
então
dt = 5\,x^{4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{4}\,dx = \frac{dt}{5}.

Passo 3

Quando x varia de 0 até \infty, t varia de 0 até \infty. Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{4}}{\bigl(x^{5}+2\bigr)^{3/2}}\,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{5}\,\frac{dt}{(t+2)^{3/2}} = \frac{1}{5}\int_{0}^{\infty}(t+2)^{-3/2}\,dt.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\int (t+2)^{-3/2}dt, aplicamos a regra de potência:
\int (t+2)^{-3/2}dt = \frac{(t+2)^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2\,(t+2)^{-1/2}.
Assim a integral torna-se
\frac{1}{5}\Bigl[-2\,(t+2)^{-1/2}\Bigr]_{0}^{\infty}.

Passo 5

Avaliamo-la nos limites impróprios:
quando t\to\infty, (t+2)^{-1/2}\to0;
quando t=0, (t+2)^{-1/2}=(2)^{-1/2}=1/\sqrt{2}.
Logo
\frac{1}{5}\bigl[\,0 - \bigl(-2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\bigr] = \frac{1}{5}\,\bigl(2/\sqrt{2}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}

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