3. Modelagem de Perdas em Cabos Coaxiais

Para sistemas de transmissão de alta frequência em cabos coaxiais, a atenuação do sinal em função da distância segue um comportamento exponencial complexo.
Calcule: O limite que representa a perda acumulada:
\lim _{n \rightarrow \infty} n^{6}\left[\frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+3}}-\frac{1}{\sqrt[n]{n^{n}+3}}\right]^{3 n}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n \to \infty} n^{6}\Biggl[\frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+3}}-\frac{1}{\sqrt[n]{n^{n}+3}}\Biggr]^{3n}.
O conteúdo principal é usar expansões de tipo exponencial para \sqrt[n]{a_n} e depois um limite do tipo (1-\delta_n)^{3n}.

Passo 2

Começamos aproximando
\sqrt[n]{n^{2}+3}=\exp\Bigl(\tfrac{1}{n}\ln(n^{2}+3)\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac{2\ln n}{n}+\tfrac{\ln(1+3/n^{2})}{n}\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac{2\ln n}{n}+o(\tfrac{1}{n})\Bigr).
Logo
\frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+3}} =\exp\Bigl(-\tfrac{2\ln n}{n}+o(\tfrac{1}{n})\Bigr) =1-\frac{2\ln n}{n}+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).

Passo 3

Agora
\sqrt[n]{n^{n}+3} =\exp\Bigl(\tfrac{1}{n}\ln(n^{n}+3)\Bigr) =\exp\Bigl(\ln n+\tfrac{\ln(1+3/n^{n})}{n}\Bigr) =n\,(1+o(1)).
Portanto
\frac{1}{\sqrt[n]{n^{n}+3}} =\frac{1}{n}+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).

Passo 4

Definindo
D_n=\frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+3}}-\frac{1}{\sqrt[n]{n^{n}+3}} =1-\frac{2\ln n}{n}-\frac{1}{n}+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) =1-\delta_n,
onde \delta_n=\frac{2\ln n+1}{n}+o(\tfrac{1}{n}).

Passo 5

Usando \bigl(1-\delta_n\bigr)^{3n}\approx\exp(-3n\delta_n) quando \delta_n\to0,
3n\,\delta_n=3n\Bigl(\tfrac{2\ln n+1}{n}+o(\tfrac1n)\Bigr) =6\ln n+3+o(1),
logo
\bigl(1-\delta_n\bigr)^{3n} \sim e^{-6\ln n-3} =n^{-6}e^{-3}.
Multiplicando por n^{6} obtemos
n^{6}\,D_n^{3n}\;\longrightarrow\;e^{-3}.

Resposta

e^{-3}.

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