2. Interferência em Sistemas de Modulação QAM

Em receptores de comunicação digital que utilizam modulação quadrature amplitude modulation (QAM), padrões de interferência entre portadoras adjacentes podem ser modelados por produtos de funções trigonométricas.
Determine: O valor do limite:
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{2 n^{6}+1} \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{n+1}\right) \cdot \sin \left(\frac{3 n \pi}{n+1}\right) \cdot \sin \left(\frac{5 n \pi}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite\r
%\r L = \lim_{n\to\infty}\sqrt{2n^{6}+1}\,\sin\Bigl(\frac{n\pi}{n+1}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{3n\pi}{n+1}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{5n\pi}{n+1}\Bigr).\r\r
O conteúdo aqui é análise assintótica usando aproximação de pequenos ângulos para senos e o comportamento de raízes de polinômios de grau alto.

Passo 2

Observe que, para cada inteiro positivo k, temos\r
%\r \frac{k\,n\pi}{n+1} = k\pi - \frac{k\pi}{n+1}.\r\r
Como\r
\sin(k\pi - x)=\sin(x) para todo k\in\mathbb{Z}, segue que\r
%\r \sin\Bigl(\frac{n\pi}{n+1}\Bigr)\r =\sin\Bigl(\pi - \frac{\pi}{n+1}\Bigr)\r =\sin\Bigl(\frac{\pi}{n+1}\Bigr),\r
%\r \sin\Bigl(\frac{3n\pi}{n+1}\Bigr)\r =\sin\Bigl(3\pi - \frac{3\pi}{n+1}\Bigr)\r =\sin\Bigl(\frac{3\pi}{n+1}\Bigr),\r
%\r \sin\Bigl(\frac{5n\pi}{n+1}\Bigr)\r =\sin\Bigl(5\pi - \frac{5\pi}{n+1}\Bigr)\r =\sin\Bigl(\frac{5\pi}{n+1}\Bigr).\r

Passo 3

Para n\to\infty, os argumentos \frac{\pi}{n+1}, \frac{3\pi}{n+1} e \frac{5\pi}{n+1} tendem a zero. Então usamos a aproximação de primeiro ordem\r
\sin x\sim x quando x\to0. Logo\r
%\r \sin\Bigl(\frac{\pi}{n+1}\Bigr)\sim \frac{\pi}{n+1},\quad\r \sin\Bigl(\frac{3\pi}{n+1}\Bigr)\sim \frac{3\pi}{n+1},\quad\r \sin\Bigl(\frac{5\pi}{n+1}\Bigr)\sim \frac{5\pi}{n+1}.\r

Passo 4

O produto dos três senos então satisfaz\r
%\r \sin\Bigl(\frac{\pi}{n+1}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{3\pi}{n+1}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{n+1}\Bigr)\r \sim \frac{\pi}{n+1}\,\frac{3\pi}{n+1}\,\frac{5\pi}{n+1}\r = \frac{15\pi^{3}}{(n+1)^{3}}.\r\r
Além disso,\r
\sqrt{2n^{6}+1} = n^{3}\sqrt{2 + 1/n^{6}}\sim n^{3}\sqrt{2}.

Passo 5

Multiplicando as duas aproximações e passando ao limite:\r
%\r L \sim n^{3}\sqrt{2}\;\cdot\;\frac{15\pi^{3}}{(n+1)^{3}}\r =\;15\pi^{3}\sqrt{2}\;\cdot\;\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}}\r \longrightarrow 15\pi^{3}\sqrt{2}.\r

Resposta

15\pi^{3}\sqrt{2}

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