Questão 6. O valor da integral
\int_{-1}^{1} \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x+1}} d x é:
a) 0
b) -\infty
d) \infty
e) 1-\sqrt[3]{49}
f) 2+\frac{\sqrt{2}}{5}
g) 6
h) 2 \sqrt{3}
囲) \sqrt[3]{9}-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-1}^{1} \frac{4}{3\,\sqrt[3]{2x+1}}\;dx
que tem singularidade em x=-\tfrac12 (pois 2x+1=0 aí). O conteúdo aqui é integração de uma função com descontinuidade interna, então vamos dividir o intervalo em dois trechos \bigl[-1,-\tfrac12\bigr) e \bigl(-\tfrac12,1\bigr], verificar a convergência em cada um e usar uma primitiva.

Passo 2

Reescrevendo o integrando e identificando a singularidade:
\frac{4}{3\,\sqrt[3]{2x+1}} =\frac{4}{3\,(2x+1)^{1/3}}.
Como 2x+1 muda de sinal em x=-\tfrac12, vamos fazer
\int_{-1}^{1}\frac{4}{3\,(2x+1)^{1/3}}\,dx =\lim_{a\to-\tfrac12^-}\int_{-1}^{a}\frac{4}{3\,(2x+1)^{1/3}}\,dx +\lim_{b\to-\tfrac12^+}\int_{b}^{1}\frac{4}{3\,(2x+1)^{1/3}}\,dx.

Passo 3

Para achar a primitiva, use a substituição u=2x+1, du=2\,dx, dx=\tfrac12\,du. Então
\int\frac{4}{3\,(2x+1)^{1/3}}\,dx =\frac{4}{3}\int u^{-1/3}\,\frac{du}{2} =\frac{2}{3}\int u^{-1/3}\,du =\frac{2}{3}\cdot\frac{u^{2/3}}{2/3} =u^{2/3}.
Voltando a x, uma primitiva é
F(x)=(2x+1)^{2/3}.

Passo 4

Agora avaliamos cada parte. Note que (2x+1)^{2/3}=\bigl|2x+1\bigr|^{2/3}, então em x=-1 temos
F(-1)=(2(-1)+1)^{2/3}=(-1)^{2/3}=1,
em x=-\tfrac12
F\bigl(-\tfrac12\bigr)=(0)^{2/3}=0,
e em x=1
F(1)=(2\cdot1+1)^{2/3}=3^{2/3}.
Logo a parte de -1 a -\tfrac12 é
\lim_{a\to-\tfrac12^-}\bigl[F(a)-F(-1)\bigr] =0-1=-1,
e a parte de -\tfrac12 a 1 é
\lim_{b\to-\tfrac12^+}\bigl[F(1)-F(b)\bigr] =3^{2/3}-0=3^{2/3}.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
-1 + 3^{2/3}.
Como 3^{2/3}=(\sqrt[3]{3})^2=\sqrt[3]{9}, o resultado final é
\sqrt[3]{9}-1.

Resposta

\sqrt[3]{9}-1

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