Em uma análise estrutural de uma treliça plana, três forças são aplicadas em um nó. As forças são representadas pelos seguintes vetores no plano cartesiano:
  • Força F1: F1 (2,1) kN
  • Força F2: F2=(-4,2) kN
  • Força F3: F3=(1,1) kN
    Caso os vetores sejam dependentes, encontre uma relação de combinação linear entre eles.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no plano
F1=(2,1), F2=(-4,2), F3=(1,1)
e pede uma relação de dependência linear, isto é, encontrar escalares alpha,beta,gamma, não todos zero, tais que
alpha F1+beta F2+gamma F3=(0,0)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear componente a componente:
alpha(2,1)+beta(-4,2)+gamma(1,1)=(0,0)
gera o sistema
2alpha-4beta+gamma=0, alpha+2beta+gamma=0

Passo 3

Do segundo equação isolamos gamma:
gamma=-alpha-2beta
Substituímos na primeira:
2alpha-4beta+(-alpha-2beta)=0 Longrightarrow alpha-6beta=0 Longrightarrow alpha=6beta

Passo 4

Usando alpha=6beta em gamma=-alpha-2beta vem
gamma=-6beta-2beta=-8beta
Como os escalares não são todos zero, escolhemos beta=1. Assim
alpha=6, beta=1, gamma=-8

Passo 5

Portanto a relação de dependência linear é
6F1+1F2-8F3=(0,0) Long<=ftrightarrow 6F1+F2-8F3=0

Resposta

6F1 + F2 - 8F3 =0

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