Considere o espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n e as seguintes transformações lineares definidas no espaço:
ll T1: Pn Pn & T1[p(x)]=p(a1 x+b1) T2: Pn Pn+1 & T2[p(x)]=(a2 x+b2) p(x)
BRUNA EDUARDA ANTONIOLLI
(a1, b1)=(-83,-1) (a2, b2)=(-34, 83)
Partindo de um polinômio p in P2, determine as matrizes de transformação definidas a seguir.
III. Matriz M2 associada a transformação T2[p(x)].

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear
T2colon P2to P3, T2[p(x)] = l(a2x + b2r),p(x),
onde a2=-tfrac34 e b2=tfrac83. Vamos usar como base de P2 a família canônica
l1,,x,,x^2r
e como base de P3 a família canônica
l1,,x,,x^2,,x^3r.

Passo 2

Calculamos T2[1].
T2(1) = l(a2x + b2r) cdot 1 = -tfrac34 x + tfrac83
Na base de P3, isso corresponde ao vetor-coluna
tfrac83 [6pt] -tfrac34 [4pt] 0 [4pt] 0 ]

Passo 3

Calculamos T2[x].
T2(x) = l(a2x + b2r) x = a2 x^2 + b2 x = -tfrac34 x^2 + tfrac83 x
Na base de P3, o vetor-coluna é
0 [4pt] tfrac83 [4pt] -tfrac34 [4pt] 0 ]

Passo 4

Calculamos T2[x^2].
T2(x^2) = l(a2x + b2r) x^2 = a2 x^3 + b2 x^2 = -tfrac34 x^3 + tfrac83 x^2
Na base de P3, o vetor-coluna é
0 [4pt] 0 [4pt] tfrac83 [4pt] -tfrac34 ]

Passo 5

A matriz M2 de T2 relativa às bases escolhidas tem como colunas as coordenadas de T2[1], T2[x] e T2[x^2]. Assim,
M2 = tfrac83 & 0 & 0 [6pt] -tfrac34 & tfrac83 & 0 [6pt] 0 & -tfrac34 & tfrac83[6pt] 0 & 0 & -tfrac34 ]

Resposta

M2 = tfrac83 & 0 & 0 [6pt] -tfrac34 & tfrac83 & 0 [6pt] 0 & -tfrac34 & tfrac83[6pt] 0 & 0 & -tfrac34 ]

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