Considere o espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n e as seguintes transformações lineares definidas no espaço:
ll T1: Pn Pn & T1[p(x)]=p(a1 x+b1) T2: Pn Pn+1 & T2[p(x)]=(a2 x+b2) p(x)
BRUNA EDUARDA ANTONIOLLI
(a1, b1)=(-83,-1) (a2, b2)=(-34, 83)
Partindo de um polinômio p in P2, determine as matrizes de transformação definidas a seguir.
II. Matriz M21 associada a transformação T2[T1[p(x)]].

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T2circ T1:P2to P3 no monômio padrão. Vamos usar como base de P2 o conjunto 1,x,x^2 e como base de P3 o conjunto 1,x,x^2,x^3. Seja um polinômio genérico
p(x)=alpha+beta x+gamma x^2
Aplicaremos primeiro T1[p](x)=p(a1x+b1) e em seguida T2 em T1[p].

Passo 2

Com (a1,b1)=l(-tfrac83,-1r),
T1[p](x) =alpha+beta,(a1x+b1)+gamma,(a1x+b1)^2
Definimos os coeficientes
c0=alpha+beta,b1+gamma,b1^2, c1=beta,a1+2gamma,a1b1, c2=gamma,a1^2
Substituindo a1=-tfrac83 e b1=-1, obtém-se
c0=alpha-beta+gamma, c1=-tfrac83beta+tfrac163gamma, c2=tfrac649,gamma

Passo 3

Agora aplicamos T2 com (a2,b2)=l(-tfrac34,tfrac83r) em q(x)=c0+c1x+c2x^2. Em geral
T2[q](x)=(a2x+b2)l(c0+c1x+c2x^2r) =b2c0+(a2c0+b2c1)x+(a2c1+b2c2)x^2+(a2c2)x^3
Chamemos esses coeficientes de d0,d1,d2,d3.

Passo 4

Substituindo a2=-tfrac34, b2=tfrac83 e os valores de ci:
d0 =b2c0 =tfrac83(alpha-beta+gamma) =tfrac83alpha-tfrac83beta+tfrac83gamma,
d1 =a2c0+b2c1 =-tfrac34(alpha-beta+gamma) +tfrac83l(-tfrac83beta+tfrac163gammar) =-tfrac34alpha-tfrac22936beta+tfrac48536gamma,
d2 =a2c1+b2c2 =2,beta+tfrac40427,gamma,
d3 =a2c2 =-tfrac163,gamma

Passo 5

Cada coluna da matriz M21 corresponde \u00e0 imagem de um vetor-base de P2 escrito em coordenadas na base de P3. Logo, lendo os coeficientes (d0,d1,d2,d3) em fun\u00e7\u00e3o de (alpha,beta,gamma), obtemos a matriz 4times3:
M21 = tfrac83 & -tfrac83 & tfrac83[6pt] -tfrac34 & -tfrac22936 & tfrac48536[6pt] 0 & 2 & tfrac40427[6pt] 0 & 0 & -tfrac163 ]

Resposta

M21= 83 & -83 & 83[6pt] -34 & -22936 & 48536[6pt] 0 & 2 & 40427[6pt] 0 & 0 & -163 ]

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