Considere a equação geral de segundo grau em
definida por
II. Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação (parâmetros
e
, conforme livro) e esboce o gráfico da forma.
Passo 1
O enunciado dá a equação geral de segundo grau em
e pede os coeficientes característicos
conforme o livro (isto é, os coeficientes da forma canônica após rotação e translação) e o esboço do gráfico.
Passo 2
Identificamos os coeficientes padrão
A parte quadrática associa-se à matriz simétrica
Passo 3
Para encontrar os valores próprios de
resolvemos
Aqui
e
, então
cuja
é
e
. Portanto
Esses são os coeficientes
e
da forma canônica.
Passo 4
Para obter
basta deslocar ao centro da cônica. O centro
vem de resolver
que dá
. Substituindo na equação original obtemos o termo constante canônico
Passo 5
Como
, trata‐se de uma hip’erbole. A forma can^onica `e
Dividindo por
fica
onde
s~ao coordenadas no sistema rotacionado de ^angulo
tal que
Passo 6
Esbo\c{c}o do gr’afico:
- Centro em
. - Eixos rotacionados de
. - Semi‐eixo real
ao longo da dire\c{c}~ao correspondente a . - Semi‐eixo imagin’ario
ao longo da dire\c{c}~ao correspondente a .