Considere a equação geral de segundo grau em R^2 definida por
-46 x^2-40 x y+29 y^2+236 x+178 y-367=0
II. Determine o valor dos coeficientes característicos para identificar a forma cônica descrita pela equação (parâmetros a, b e c, conforme livro) e esboce o gráfico da forma.

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de segundo grau em R^2
-46,x^2-40,x y+29,y^2+236,x+178,y-367=0
e pede os coeficientes característicos a,b,c conforme o livro (isto é, os coeficientes da forma canônica após rotação e translação) e o esboço do gráfico.

Passo 2

Identificamos os coeficientes padrão
A=-46, B=-40, C=29, D=236, E=178, F=-367
A parte quadrática associa-se à matriz simétrica
M=A & B/2[6pt]B/2 & C =-46 & -20[6pt]-20 & 29 ]

Passo 3

Para encontrar os valores próprios de M resolvemos
det(M-lambda I)=0 ;Longrightarrow; lambda^2-(A+C),lambda+l(AC-(B/2)^2r)=0
Aqui A+C=-17 e AC-(B/2)^2=-1734, então
lambda^2+17,lambda-1734=0,
cuja De<a é 17^2+4cdot1734=7225 e raiz7225=85. Portanto
lambda1=-17+852=34, lambda2=-17-852=-51
Esses são os coeficientes a e b da forma canônica.

Passo 4

Para obter c basta deslocar ao centro da cônica. O centro (x0,y0) vem de resolver
nablal(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+Fr)=0
que dá (x0,y0)=(3,-1). Substituindo na equação original obtemos o termo constante canônico
c=102

Passo 5

Como B^2-4AC=6936>0, trata‐se de uma hip’erbole. A forma can^onica `e
a,u^2+b,v^2=c Longrightarrow 34,u^2-51,v^2=102
Dividindo por 102 fica
u^23-v^22=1,
onde u,v s~ao coordenadas no sistema rotacionado de ^angulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C=-40-75=815

Passo 6

Esbo\c{c}o do gr’afico:
  • Centro em (3,-1).
  • Eixos rotacionados de theta=tfrac12arctan(8/15).
  • Semi‐eixo real raiz3 ao longo da dire\c{c}~ao correspondente a lambda1=34.
  • Semi‐eixo imagin’ario raiz2 ao longo da dire\c{c}~ao correspondente a lambda2=-51.

Resposta

a=34, b=-51, c=102. Hiperbole centrada em (3,-1), eixos rotacionados de theta=tfrac12arctan(8/15), semi‐eixos raiz3 e raiz2.

Exercícios relacionados