Em uma análise estrutural de uma treliça plana, três forças sao aplicadas em um no. As forgas sào representadas pelos seguintes vetores no plano cartesiano:
  • Força F1: F1 (2,-1) kN
  • Forca F2: F2=(-4,2) kN
  • Força F3: F3=(1,1) kN
    Caso os vetores sejam dependentes, encontre uma relação de combinação linear entre eles.
    * Dica:
    Os vetores v1, v2, v3 sảo linearmente dependentes se existir uma combinaçảo linear näo trivial que resulte no vetor nulo:
c1 v1+c2 v2+c3 v3=(0,0)
onde c1, c2, c3 năo săo todos iguais a zero.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^2:
vec F1=(2,-1), vec F2=(-4,2) e vec F3=(1,1).
Como temos mais vetores do que a dimensão do espaço, eles são obrigatoriamente linearmente dependentes.
Para encontrar a relação de dependência, vamos buscar escalares c1,c2,c3, não todos nulos, tais que
c1,vec F1+c2,vec F2+c3,vec F3=(0,0)

Passo 2

Substituindo as componentes na equação acima, obtemos o sistema
2c1-4c2+1c3=0,
-1c1+2c2+1c3=0
Para resolver, subtraímos a segunda equação da primeira:
(2c1-4c2+c3)-(-c1+2c2+c3)=0 Longrightarrow 3c1-6c2=0 Longrightarrow c1=2c2
Substituindo c1=2c2 em -c1+2c2+c3=0
-2c2+2c2+c3=0 Longrightarrow c3=0

Passo 3

Como os coeficientes não podem ser todos zero, basta escolher c2=1.
Assim c1=2 e c3=0 fornecem uma combinação não trivial:
2,vec F1+1,vec F2+0,vec F3=(0,0)

Resposta

A relação de dependência linear é
2,vec F1+vec F2=vec 0

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