Seja
uma equação geral de um plano
. Suponhamos
. Prove que
sāo equaçōes paramétricas de
pi .
Passo 1
O enunciado dá o plano
com
, e propõe o sistema paramétrico
Queremos provar que o conjunto de todos os pontos coincide exatamente com o plano
.]
Passo 2
Mostramos que todo ponto dado por essas equações está em
pi . De fato, substituindo
na equação
a,x + b,y + c,z + d , vem
Logo todo ponto paramétrico satisfaz a equação de
pi .
Passo 3
Mostramos que todo ponto
(x,y,z) de
pi pode ser obtido por esses parâmetros. Se
(x,y,z) satisfaz
então, como
aneq 0 , isolamos
Basta agora escolher
lambda = y e
mu = z . Com isso
que coincide exatamente com a parametrização proposta.
Resposta
As equações
geram todos os pontos do plano
pi e somente eles, portanto são as equações paramétricas de
pi .]