Seja a x+b y+c z+d=0 uma equação geral de um plano pi. Suponhamos a neq 0. Prove que
l x=-ba lambda-ca mu-da y=lambda z=mu
sāo equaçōes paramétricas de pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano
com , e propõe o sistema paramétrico
Queremos provar que o conjunto de todos os pontos coincide exatamente com o plano .]

Passo 2

Mostramos que todo ponto dado por essas equações está em pi. De fato, substituindo
x = -balambda - camu - da, y=lambda, z=mu
na equação a,x + b,y + c,z + d, vem
al(-tfracbalambda - tfraccamu - tfracdar) + b,lambda + c,mu + d = -blambda - cmu - d + blambda + cmu + d = 0
Logo todo ponto paramétrico satisfaz a equação de pi.

Passo 3

Mostramos que todo ponto (x,y,z) de pi pode ser obtido por esses parâmetros. Se (x,y,z) satisfaz
a,x + b,y + c,z + d = 0,
então, como aneq 0, isolamos
x = -b,y + c,z + da
Basta agora escolher lambda = y e mu = z. Com isso
x = -ba,lambda - ca,mu - da,
que coincide exatamente com a parametrização proposta.

Resposta

As equações
x = -dfracba,lambda - dfracca,mu - dfracda,[6pt] y = lambda,[3pt] z = mu
geram todos os pontos do plano pi e somente eles, portanto são as equações paramétricas de pi.]

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