Na análise estrutural de vigas contínuas submetidas a múltiplos carregamentos, a modelagem via método dos deslocamentos ou elementos finitos leva à formação de um sistema de equações lineares da forma:
K \mathbf{u}=\mathbf{f}
onde:
  • K é a matriz de rigidez global da estrutura (simétrica, definida positiva),
  • u é o vetor de deslocamentos nodais verticais,
  • f é o vetor de forças nodais equivalentes.
Neste caso, considera-se uma viga contínua isostática com 5 nós (apoios ou conexões com outras vigas), submetida a cargas verticais distribuídas. A discretização foi feita com elementos de viga do tipo Euler-Bernoulli, assumindo que os momentos fletores e deslocamentos verticais são as incógnitas principais.
O sistema resultante da montagem das equações de equilíbrio e condições de compatibilidade resulta na seguinte matriz de rigidez K e vetor de forças \mathbf{f} :
K=\left(\begin{array}{ccccc} 20 & -5 & 0 & 0 & -2 \\\\ -5 & 25 & -7 & 0 & 0 \\\\ 0 & -7 & 30 & -9 & 0 \\\\ 0 & 0 & -9 & 35 & -11 \\\\ -2 & 0 & 0 & -11 & 40 \end{array}\right), \quad \mathbf{f}=\left(\begin{array}{c} 10 \\\\ 20 \\\\ 30 \\\\ 25 \\\\ 15 \end{array}\right) .
Fonte: Van de Velde, E. F. (1994). LU-Decomposition. In: Concurrent Scientific Computing, Texts in Applied Mathematics, Vol. 16. Springer. Disponível em: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0849-5_ 4
  1. Resolva o sistema K \mathbf{u}=\mathbf{f} pelo método mais adequado.
  2. Justifique a sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
K\mathbf{u}=\mathbf{f},
onde
K=\begin{pmatrix} 20 & -5 & 0 & 0 & -2 \\\\ -5 & 25 & -7 & 0 & 0 \\\\ 0 & -7 & 30 & -9 & 0 \\\\ 0 & 0 & -9 & 35 & -11 \\\\ -2 & 0 & 0 & -11 & 40 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{f}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]20\\[4pt]30\\[4pt]25\\[4pt]15\end{pmatrix}.
Perguntas claras:
  • (1) Resolver o sistema para obter \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)^\top.
  • (2) Justificar a escolha do método.
Informações relevantes dadas:
  • K é simétrica e definida positiva (dado no enunciado), dimensão 5\times5.
  • \mathbf{f} é o vetor de forças nodais (valores explícitos).
  • Procuramos os deslocamentos nodais verticais \mathbf{u}.]

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática, sem jargões desnecessários).
  • Para matrizes simétricas definidas positivas a fatoração de Cholesky é o método naturalmente mais adequado por ser:
    • mais eficiente (metade das operações comparado ao LU geral),
    • numericamente estável para SPD,
    • e permite resolver o sistema com duas substituições triangulares simples.
  • Uma variante útil (que evita raízes quadradas intermediárias e preserva exatidão racional quando possível) é a fatoração LDL^\top, onde se escreve K = L D L^\top,com L unitária inferior (diagonal com 1’s) e D diagonal. O algoritmo LDL^\top usa apenas divisões e subtrações (sem extração de raiz), o que facilita cálculos manuais e mantém exatidão em forma fracionária.
  • Por isso escolho o método LDL^\top. Ele é especialmente adequado aqui porque K é SPD e a matriz é pequena (5×5), permitindo cálculo manual passo a passo e depois resolver por substituições.
Breve descrição do algoritmo LDL^\top (fórmulas e significado das variáveis):
  • Denotar L=(\ell_{ij}) com \ell_{ii}=1 e \ell_{ij}=0 para j>i. Denotar D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n).
  • Para k=1,\dots,n: d_k = a_{kk} - \sum_{s=1}^{k-1} \ell_{k s}^2 d_s,e para i=k+1,\dots,n, \ell_{i k} = \frac{1}{d_k}\left(a_{i k} - \sum_{s=1}^{k-1} \ell_{i s}\ell_{k s} d_s\right).
  • Depois que L e D são obtidos, resolve-se:
    1. L\mathbf{y}=\mathbf{f} (substituição para frente),
    2. D\mathbf{z}=\mathbf{y} (divisões por d_i),
    3. L^\top\mathbf{u}=\mathbf{z} (substituição para trás).
  • Explico cada passo numérico a seguir, mostrando como aplicar as fórmulas.

Passo 3

Fatoração K=L D L^\top — cálculo das entradas (faço as contas com frações quando conveniente).
Começo com k=1:
d_1 = a_{11}=20.
Para i=2,3,4,5:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{d_1}=\frac{-5}{20}=-\tfrac14,\quad \ell_{31}=\frac{0}{20}=0,\quad \ell_{41}=0,\quad \ell_{51}=\frac{-2}{20}=-\tfrac{1}{10}.
Agora k=2:
d_2=a_{22}-\ell_{21}^2 d_1=25-\Big(-\tfrac14\Big)^2\cdot20 =25-\frac{5}{4}=\frac{95}{4}=23{,}75.
Para i=3,4,5:
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}d_1}{d_2}=\frac{-7-0}{95/4}=-\frac{28}{95}\approx-0{,}29473684,
\ell_{42}=\frac{0-0}{d_2}=0,
\ell_{52}=\frac{0-\ell_{51}\ell_{21}d_1}{d_2} =\frac{0-(-\tfrac{1}{10})(-\tfrac14)\cdot20}{95/4} =\frac{-\tfrac12}{95/4}=-\frac{2}{95}\approx-0{,}02105263.
Agora k=3:
d_3=a_{33}-\ell_{31}^2 d_1-\ell_{32}^2 d_2 =30 - 0 -\Big(\frac{28}{95}\Big)^2\frac{95}{4} =30-\frac{196}{95}=\frac{2654}{95}\approx27{,}9368421.
Para i=4,5:
\ell_{43}=\frac{a_{43}-\ell_{41}\ell_{31}d_1-\ell_{42}\ell_{32}d_2}{d_3} =\frac{-9}{2654/95}=-\frac{855}{2654}\approx-0{,}32231518,
\ell_{53}=\frac{0-\ell_{51}\ell_{31}d_1-\ell_{52}\ell_{32}d_2}{d_3} =\frac{-\tfrac{14}{95}}{2654/95}=-\frac{14}{2654}=-\frac{7}{1327}\approx-0{,}00527607.
Agora k=4:
d_4=a_{44}-\ell_{41}^2 d_1-\ell_{42}^2 d_2-\ell_{43}^2 d_3 =35 - \ell_{43}^2 d_3.
Usando os valores já obtidos (nota: \ell_{43}=-\tfrac{855}{2654}):
\ell_{43}^2 d_3=\frac{81\cdot95}{2654}=\frac{7695}{2654},
logo
d_4=35-\frac{7695}{2654}=\frac{85195}{2654}\approx32{,}100601.
Para i=5:
\ell_{54}=\frac{a_{54}-\ell_{51}\ell_{41}d_1-\ell_{52}\ell_{42}d_2-\ell_{53}\ell_{43}d_3}{d_4}.
Calculando as parcelas (já com as frações obtidas) resulta
\ell_{54}=-\frac{5864}{17039}\approx-0{,}344247.
Finalmente k=5:
d_5=a_{55}-\sum_{s=1}^4 \ell_{5s}^2 d_s.
Substituindo os valores calculados obtém-se numericamente
d_5\approx35{,}9844337.
Resumo das entradas úteis (valores exatos/simplificados quando possível e aproximações decimais):
\begin{aligned} &d_1=20,\quad d_2=\tfrac{95}{4}=23{,}75,\quad d_3=\tfrac{2654}{95}\approx27{,}9368421,\\\ &d_4=\tfrac{85195}{2654}\approx32{,}100601,\quad d_5\approx35{,}9844337,\\\ &\ell_{21}=-\tfrac14,\\ \ell_{31}=0,\\ \ell_{41}=0,\\ \ell_{51}=-\tfrac{1}{10},\\\ &\ell_{32}=-\tfrac{28}{95},\\ \ell_{42}=0,\\ \ell_{52}=-\tfrac{2}{95},\\\ &\ell_{43}=-\tfrac{855}{2654},\\ \ell_{53}=-\tfrac{14}{2654},\\\ &\ell_{54}=-\tfrac{5864}{17039}. \end{aligned}
(Dica: esses cálculos seguem diretamente as fórmulas do passo 2; fiz as simplificações racionais quando elas surgiram.)

Passo 4

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{f} por substituição direta (para frente). A equação L\mathbf{y}=\mathbf{f} expande-se em:
\begin{aligned} y_1&=f_1,\\\ y_2&=f_2-\ell_{21}y_1,\\\ y_3&=f_3-\ell_{31}y_1-\ell_{32}y_2,\\\ y_4&=f_4-\ell_{41}y_1-\ell_{42}y_2-\ell_{43}y_3,\\\ y_5&=f_5-\ell_{51}y_1-\ell_{52}y_2-\ell_{53}y_3-\ell_{54}y_4. \end{aligned}
Substituindo valores (faço contas com frações quando conveniente):
  • y_1=f_1=10.
  • y_2=20-(-\tfrac14)\cdot10=20+2{,}5=22{,}5=\tfrac{45}{2}.
  • y_3=30-0\cdot10-(-\tfrac{28}{95})\cdot\tfrac{45}{2} =30+\frac{28\cdot45}{190}=30+\frac{126}{19}=\frac{696}{19}\approx36{,}6315789.
  • y_4=25-(-\tfrac{855}{2654})\cdot\frac{696}{19} =25+\frac{595080}{50426}=\frac{927865}{25213}\approx36{,}800947.
  • y_5=15-(-\tfrac{1}{10})\cdot10-(-\tfrac{2}{95})\cdot\tfrac{45}{2}-(-\tfrac{14}{2654})\cdot\frac{696}{19}-(-\tfrac{5864}{17039})\cdot\frac{927865}{25213}.
Calculando a última linha com as frações anteriores (já mostrado em Passo 3) obtém-se numericamente
y_5\approx29{,}335869.
Portanto o vetor \mathbf{y} (aproximado) é
\mathbf{y}\approx\begin{pmatrix} 10\\[2pt] 22{,}5\\[2pt] 36{,}6315789\\[2pt] 36{,}800947\\[2pt] 29{,}335869 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver D\mathbf{z}=\mathbf{y} (divisão por cada d_i):
z_i=\frac{y_i}{d_i},\qquad i=1,\dots,5.
Calculando:
\begin{aligned} z_1&=\frac{10}{20}=0{,}5,\\[2pt] z_2&=\frac{22{,}5}{23{,}75}=\frac{45/2}{95/4}=\frac{18}{19}\approx0{,}9473684211,\\[2pt] z_3&=\frac{696/19}{2654/95}=\frac{1740}{1327}\approx1{,}3113809,\\[2pt] z_4&=\frac{927865/25213}{85195/2654}\approx1{,}146545,\\[2pt] z_5&=\frac{29{,}335869}{35{,}9844337}\approx0{,}815450. \end{aligned}]

Passo 6

Resolver L^\top \mathbf{u}=\mathbf{z} por substituição regressiva (pois L^\top é triangular superior).
As equações (escritas na ordem conveniente para substituição) são:
\begin{aligned} u_5 &= z_5,\\\ u_4 &= z_4 - \ell_{54} u_5,\\\ u_3 &= z_3 - \ell_{43} u_4 - \ell_{53} u_5,\\\ u_2 &= z_2 - \ell_{32} u_3 - \ell_{42} u_4 - \ell_{52} u_5,\\\ u_1 &= z_1 - \ell_{21} u_2 - \ell_{31} u_3 - \ell_{41} u_4 - \ell_{51} u_5. \end{aligned}
Substituindo os valores numéricos (valores de \ell_{ij} já calculados):
  • u_5=z_5\approx0{,}815450.
  • u_4=z_4-\ell_{54}u_5\approx1{,}146545-(-0{,}344247)\cdot0{,}815450 \approx1{,}146545+0{,}280730\approx1{,}427275.
  • u_3=z_3-\ell_{43}u_4-\ell_{53}u_5 \approx1{,}311381-(-0{,}322315)\cdot1{,}427275-(-0{,}00527607)\cdot0{,}815450
\approx1{,}311381+0{,}460057+0{,}004301\approx1{,}775739.
  • u_2=z_2-\ell_{32}u_3-\ell_{42}u_4-\ell_{52}u_5 \approx0{,}947368-(-0{,}2947368)\cdot1{,}775739-0\cdot1{,}427275-(-0{,}02105263)\cdot0{,}815450
\approx0{,}947368+0{,}523291+0{,}017166\approx1{,}487825.
  • u_1=z_1-\ell_{21}u_2-\ell_{31}u_3-\ell_{41}u_4-\ell_{51}u_5 \approx0{,}5-(-0{,}25)\cdot1{,}487825-0-0-(-0{,}1)\cdot0{,}815450
\approx0{,}5+0{,}371956+0{,}081545\approx0{,}953501.
Assim obtemos o vetor solução aproximado
\mathbf{u}\approx\begin{pmatrix} 0{,}953501\\[2pt] 1{,}487825\\[2pt] 1{,}775739\\[2pt] 1{,}427275\\[2pt] 0{,}815450 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Breve comentário final e checagem rápida:
  • A escolha do método LDL^\top (variante de Cholesky) foi justificada porque K é simétrica definida positiva; isso torna o método mais eficiente e estável.
  • Os passos foram: fatoração K=L D L^\top, substituição direta L\mathbf{y}=\mathbf{f}, resolução diagonal D\mathbf{z}=\mathbf{y} e substituição regressiva L^\top\mathbf{u}=\mathbf{z}.
  • Os valores apresentados foram arredondados à 6 casas decimais quando necessário; em uma implementação numérica (computador) as mesmas etapas dão a solução com maior precisão.

Resposta

\displaystyle u_1\approx0{,}953501
\displaystyle u_2\approx1{,}487825
\displaystyle u_3\approx1{,}775739
\displaystyle u_4\approx1{,}427275
\displaystyle u_5\approx0{,}815450

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