Na análise estrutural de vigas contínuas submetidas a múltiplos carregamentos, a modelagem via método dos deslocamentos ou elementos finitos leva à formação de um sistema de equações lineares da forma:
K \mathbf{u}=\mathbf{f}
onde:
K é a matriz de rigidez global da estrutura (simétrica, definida positiva),
u é o vetor de deslocamentos nodais verticais,
f é o vetor de forças nodais equivalentes.
Neste caso, considera-se uma viga contínua isostática com 5 nós (apoios ou conexões com outras vigas), submetida a cargas verticais distribuídas. A discretização foi feita com elementos de viga do tipo Euler-Bernoulli, assumindo que os momentos fletores e deslocamentos verticais são as incógnitas principais.
O sistema resultante da montagem das equações de equilíbrio e condições de compatibilidade resulta na seguinte matriz de rigidez K e vetor de forças \mathbf{f} :
Fonte: Van de Velde, E. F. (1994). LU-Decomposition. In: Concurrent Scientific Computing, Texts in Applied Mathematics, Vol. 16. Springer. Disponível em: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0849-5_ 4
Resolva o sistema K \mathbf{u}=\mathbf{f} pelo método mais adequado.
(1) Resolver o sistema para obter \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)^\top.
(2) Justificar a escolha do método.
Informações relevantes dadas:
K é simétrica e definida positiva (dado no enunciado), dimensão 5\times5.
\mathbf{f} é o vetor de forças nodais (valores explícitos).
Procuramos os deslocamentos nodais verticais \mathbf{u}.]
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática, sem jargões desnecessários).
Para matrizes simétricas definidas positivas a fatoração de Cholesky é o método naturalmente mais adequado por ser:
mais eficiente (metade das operações comparado ao LU geral),
numericamente estável para SPD,
e permite resolver o sistema com duas substituições triangulares simples.
Uma variante útil (que evita raízes quadradas intermediárias e preserva exatidão racional quando possível) é a fatoração LDL^\top, onde se escreveK = L D L^\top,com L unitária inferior (diagonal com 1’s) e D diagonal. O algoritmo LDL^\top usa apenas divisões e subtrações (sem extração de raiz), o que facilita cálculos manuais e mantém exatidão em forma fracionária.
Por isso escolho o método LDL^\top. Ele é especialmente adequado aqui porque K é SPD e a matriz é pequena (5×5), permitindo cálculo manual passo a passo e depois resolver por substituições.
Breve descrição do algoritmo LDL^\top (fórmulas e significado das variáveis):
Denotar L=(\ell_{ij}) com \ell_{ii}=1 e \ell_{ij}=0 para j>i. Denotar D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n).
A escolha do método LDL^\top (variante de Cholesky) foi justificada porque K é simétrica definida positiva; isso torna o método mais eficiente e estável.
Os passos foram: fatoração K=L D L^\top, substituição direta L\mathbf{y}=\mathbf{f}, resolução diagonal D\mathbf{z}=\mathbf{y} e substituição regressiva L^\top\mathbf{u}=\mathbf{z}.
Os valores apresentados foram arredondados à 6 casas decimais quando necessário; em uma implementação numérica (computador) as mesmas etapas dão a solução com maior precisão.