Na análise estrutural de edifícios, é comum o surgimento de sistemas lineares com matrizes simétricas, especialmente na formulação da matriz de rigidez das estruturas. Esses sistemas aparecem, por exemplo, na modelagem do comportamento estático de pórticos e treliças.
Construir as formas iterativas dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel (ou seja, as fórmulas que dão x^{(k+1)} em função de iterações anteriores).
Resolver o sistema usando o método mais adequado.
Discutir como a dominância diagonal influencia a convergência desses métodos iterativos estacionários.
Listei as informações relevantes do enunciado: a matriz A (simétrica, com elementos fora da diagonal apenas na banda tridiagonal indicada) e o vetor \mathbf{b}. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Explicando a ideia comum antes de construir as fórmulas: escrevemos A como soma de três partes
A = D + L + U,
onde D é a matriz diagonal com os elementos diagonais de A, L é a parte estritamente triangular inferior (com sinais negativos conforme convém na escrita) e U é a parte estritamente triangular superior. Concretamente aqui:
Comentário didático rápido: a decomposição A=D+L+U é padrão para derivar as iterações. Em notação matricial, as formas iterativas são obtidas isolando x na forma desejada (Jacobi usa apenas D, Gauss–Seidel usa D+L invertida).
Passo 3
Construção da forma iterativa de Jacobi (passo a passo didático).
Regra do Jacobi: isolamos cada componente x_i usando apenas os valores da iteração anterior x^{(k)}.
Explicação: cada fórmula vem de isolar x_i na i-ésima equação a_{ii}x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij}x_j = b_i, dividindo por a_{ii} e substituindo todos x_j pelo valor da iteração anterior x_j^{(k)}.]
Passo 4
Construção da forma iterativa de Gauss–Seidel (passo a passo didático).
Regra do Gauss–Seidel: ao computar x_i^{(k+1)} usa-se, sempre que disponível, o componente atualizado x_j^{(k+1)} para j<i e os componentes antigos x_j^{(k)} para j>i.
A forma matricial é
x^{(k+1)} = (D+L)^{-1}\bigl(\mathbf{b} - U x^{(k)}\bigr).
Componente a componente (forma explícita para aplicar iterações):
Comentário didático: note que em x_2^{(k+1)} já entra x_1^{(k+1)} (atualizado), e em x_3^{(k+1)} entra x_2^{(k+1)}, etc. Isso costuma acelerar a convergência porque aproveita a informação mais recente.]
Passo 5
Escolha do método “mais adequado” e justificativa curta (didática e empática).
Em problemas estruturais com matrizes esparsas e diagonalmente dominantes, Gauss–Seidel costuma ser mais eficiente que Jacobi (menos iterações necessárias), porque usa valores imediatamente atualizados.
A nossa matriz A é, por linhas, diagonalmente dominante em praticamente todas as linhas: calculando \lvert a_{ii}\rvert e a soma das outras absolutas por linha:
linha 1: \lvert-4\rvert = 4, soma dos outros |2|=2 (strictamente dominante);
linha 2: |5|=5, soma |2|+|3|=5 (dominância fraca, igualdade);
linha 3: |6|=6, soma |3|+|1|=4 (stric.);
linha 4: |2|=2, soma |1|=1 (stric.).
Como temos dominância diagonal nas linhas (com apenas uma linha em igualdade) e a matriz é conectada em cadeia (não reduzível), o Gauss–Seidel é uma escolha natural e tende a convergir rapidamente. Por isso vou resolver usando Gauss–Seidel (mostrando iterações) e também confirmar a solução exata por eliminação (para fechar com valor certo).
Passo 6
Execução do Gauss–Seidel com aproximações (iniciando em \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{0}). Mostro algumas iterações para aprender o processo e ver convergência.
Comentário: os valores aproximados estão se aproximando rapidamente de (x_1,x_2,x_3,x_4)\approx(-0{,}2708,\;0{,}4583,\;0{,}75,\;1{,}125). Isso já dá boa confiança. Agora mostro como obter a solução exata (útil em prova para conferir resultado).
Passo 7
Solução exata por eliminação (passo a passo e didático; essa etapa confirma o valor para usar na prova se quiser resposta fechada).
Escrevo as equações:
Confirmação rápida: os valores racionais batem com as iterações de Gauss–Seidel mostradas (valores aproximados convergentes).]
Passo 8
Discussão didática sobre a influência da dominância diagonal na convergência (resumo, intuitivo e com exemplos).
Definição prática: uma matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Se houver igualdade em alguma linha (como aqui na linha 2) chama-se dominância fraca nessa linha.
Teorema útil (forma prática para prova/uso): se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema para qualquer chute inicial. Intuição: os termos diagonais “dominam” a influência dos acoplamentos, então cada atualização de x_i é majoritariamente determinada pelo próprio x_i e pequenas correções das outras componentes somam pouco — isso faz com que o operador de iteração tenha raio espectral menor que 1.
No caso de dominância fraca (igualdade em alguma linha) a convergência não é automaticamente garantida por esse teorema, mas muitas vezes (especialmente se a matriz for irreducível/ligada e tiver outras linhas estritamente dominantes) Gauss–Seidel ainda converge. Além disso, se A for simétrica definida positiva, Gauss–Seidel também converge; porém nossa matriz tem um elemento diagonal negativo, então não é positiva definida, portanto não podemos usar esse critério. Ainda assim, a dominância presente aqui (três linhas estritamente dominantes e uma com igualdade) fornece boa garantia prática de convergência — e os cálculos mostraram convergência rápida do Gauss–Seidel.
Efeito na velocidade: quanto mais forte a dominância diagonal (maior a diferença |a_{ii}| - \sum_{j\ne i}|a_{ij}|), mais rapidamente geralmente converge o esquema iterativo. Gauss–Seidel, por utilizar atualizações imediatas, convergirá tipicamente mais rápido que Jacobi na mesma matriz.
Solução do sistema: x=\begin{pmatrix}-\tfrac{13}{48}\\[4pt]\tfrac{11}{24}\\[4pt]\tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{9}{8}\end{pmatrix}.
Influência da dominância diagonal: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, Jacobi e Gauss–Seidel convergem; dominância mais forte normalmente acelera a convergência. No caso dado há dominância estrita em três linhas e igualdade em uma, o que na prática (e nos cálculos) garante a convergência do Gauss–Seidel e explica sua rapidez frente ao Jacobi.]