Na análise estrutural de edifícios, é comum o surgimento de sistemas lineares com matrizes simétricas, especialmente na formulação da matriz de rigidez das estruturas. Esses sistemas aparecem, por exemplo, na modelagem do comportamento estático de pórticos e treliças.
Considere o seguinte sistema linear:
A=\left[\begin{array}{cccc} -4 & 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ 0 & 3 & 6 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 4 \\\\ 7 \\\\ 3 \end{array}\right]
  1. Construa as formas iterativas dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
  2. Resolva, pelo método mais adequado, o sistema dado.
  3. Discuta como a dominância diagonal influencia a convergência dos métodos iterativos estacionários.

Passo 1

O enunciado dá a matriz e o vetor:
A=\left[\begin{array}{cccc} -4 & 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ 0 & 3 & 6 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right],\qquad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 4 \\\\ 7 \\\\ 3 \end{array}\right].
As perguntas são:
  1. Construir as formas iterativas dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel (ou seja, as fórmulas que dão x^{(k+1)} em função de iterações anteriores).
  2. Resolver o sistema usando o método mais adequado.
  3. Discutir como a dominância diagonal influencia a convergência desses métodos iterativos estacionários.
Listei as informações relevantes do enunciado: a matriz A (simétrica, com elementos fora da diagonal apenas na banda tridiagonal indicada) e o vetor \mathbf{b}. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Explicando a ideia comum antes de construir as fórmulas: escrevemos A como soma de três partes
A = D + L + U,
onde D é a matriz diagonal com os elementos diagonais de A, L é a parte estritamente triangular inferior (com sinais negativos conforme convém na escrita) e U é a parte estritamente triangular superior. Concretamente aqui:
D=\operatorname{diag}(-4,5,6,2),
L=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Comentário didático rápido: a decomposição A=D+L+U é padrão para derivar as iterações. Em notação matricial, as formas iterativas são obtidas isolando x na forma desejada (Jacobi usa apenas D, Gauss–Seidel usa D+L invertida).

Passo 3

Construção da forma iterativa de Jacobi (passo a passo didático).
  • Regra do Jacobi: isolamos cada componente x_i usando apenas os valores da iteração anterior x^{(k)}.
  • A fórmula matricial do Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(\mathbf{b} - (L+U)x^{(k)}\bigr).
  • Escrevendo componente a componente (a forma que se usa na prova para aplicar iterações): para este sistema
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{-4}\bigl(2 - 2\,x_2^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(4 - 2\,x_1^{(k)} - 3\,x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 - 3\,x_2^{(k)} - 1\,x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{2}\bigl(3 - 1\,x_3^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Explicação: cada fórmula vem de isolar x_i na i-ésima equação a_{ii}x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij}x_j = b_i, dividindo por a_{ii} e substituindo todos x_j pelo valor da iteração anterior x_j^{(k)}.]

Passo 4

Construção da forma iterativa de Gauss–Seidel (passo a passo didático).
  • Regra do Gauss–Seidel: ao computar x_i^{(k+1)} usa-se, sempre que disponível, o componente atualizado x_j^{(k+1)} para j<i e os componentes antigos x_j^{(k)} para j>i.
  • A forma matricial é
x^{(k+1)} = (D+L)^{-1}\bigl(\mathbf{b} - U x^{(k)}\bigr).
  • Componente a componente (forma explícita para aplicar iterações):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{-4}\bigl(2 - 2\,x_2^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(4 - 2\,x_1^{(k+1)} - 3\,x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 - 3\,x_2^{(k+1)} - 1\,x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{2}\bigl(3 - 1\,x_3^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
Comentário didático: note que em x_2^{(k+1)} já entra x_1^{(k+1)} (atualizado), e em x_3^{(k+1)} entra x_2^{(k+1)}, etc. Isso costuma acelerar a convergência porque aproveita a informação mais recente.]

Passo 5

Escolha do método “mais adequado” e justificativa curta (didática e empática).
  • Em problemas estruturais com matrizes esparsas e diagonalmente dominantes, Gauss–Seidel costuma ser mais eficiente que Jacobi (menos iterações necessárias), porque usa valores imediatamente atualizados.
  • A nossa matriz A é, por linhas, diagonalmente dominante em praticamente todas as linhas: calculando \lvert a_{ii}\rvert e a soma das outras absolutas por linha:
    • linha 1: \lvert-4\rvert = 4, soma dos outros |2|=2 (strictamente dominante);
    • linha 2: |5|=5, soma |2|+|3|=5 (dominância fraca, igualdade);
    • linha 3: |6|=6, soma |3|+|1|=4 (stric.);
    • linha 4: |2|=2, soma |1|=1 (stric.).
  • Como temos dominância diagonal nas linhas (com apenas uma linha em igualdade) e a matriz é conectada em cadeia (não reduzível), o Gauss–Seidel é uma escolha natural e tende a convergir rapidamente. Por isso vou resolver usando Gauss–Seidel (mostrando iterações) e também confirmar a solução exata por eliminação (para fechar com valor certo).

Passo 6

Execução do Gauss–Seidel com aproximações (iniciando em \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{0}). Mostro algumas iterações para aprender o processo e ver convergência.
Iteração k=0 (inicial): x^{(0)}=(0,0,0,0)^T.
k=1:
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{1}{-4}(2-2\cdot 0) = -\tfrac{1}{2},\\\ x_2^{(1)} &= \frac{1}{5}\bigl(4-2(-\tfrac{1}{2})-3\cdot 0\bigr)=1,\\\ x_3^{(1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7-3\cdot 1-0\bigr)=\tfrac{2}{3},\\\ x_4^{(1)} &= \frac{1}{2}\bigl(3-\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{7}{6}. \end{aligned}
k=2:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{1}{-4}(2-2\cdot 1)=0,\\\ x_2^{(2)} &= \frac{1}{5}\bigl(4-2\cdot 0-3\cdot \tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{2}{5}=0{,}4,\\\ x_3^{(2)} &= \frac{1}{6}\bigl(7-3\cdot 0{,}4-\tfrac{7}{6}\bigr)\approx 0{,}7722222,\\\ x_4^{(2)} &= \frac{1}{2}\bigl(3-0{,}7722222\bigr)\approx 1{,}1138889. \end{aligned}
k=3 (apenas valores aproximados mostrados):
x^{(3)}\approx(-0{,}3,\;0{,}4566667,\;0{,}7526852,\;1{,}1236574).
k=4:
x^{(4)}\approx(-0{,}2716667,\;0{,}4570556,\;0{,}7508626,\;1{,}1245687).
k=5:
x^{(5)}\approx(-0{,}2714722,\;0{,}4580713,\;0{,}7502029,\;1{,}1248985).
k=6:
x^{(6)}\approx(-0{,}2709644,\;0{,}4582640,\;0{,}7500516,\;1{,}1249742).
Comentário: os valores aproximados estão se aproximando rapidamente de (x_1,x_2,x_3,x_4)\approx(-0{,}2708,\;0{,}4583,\;0{,}75,\;1{,}125). Isso já dá boa confiança. Agora mostro como obter a solução exata (útil em prova para conferir resultado).

Passo 7

Solução exata por eliminação (passo a passo e didático; essa etapa confirma o valor para usar na prova se quiser resposta fechada).
Escrevo as equações:
\begin{aligned} -4x_1 + 2x_2 &= 2,\\\\ 2x_1 + 5x_2 + 3x_3 &= 4,\\\\ 3x_2 + 6x_3 + x_4 &= 7,\\\ x_3 + 2x_4 &= 3. \end{aligned}
Da primeira equação isolamos x_1:
x_1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}x_2.
Da última equação isolamos x_3:
x_3 = 3 - 2x_4.
Substituímos essas expressões nas equações 2 e 3.
Substituindo em (2):
2\Bigl(-\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}x_2\Bigr) +5x_2 +3(3-2x_4)=4.
Simplificando:
-1 + x_2 +5x_2 +9 -6x_4 =4 \quad\Rightarrow\quad 6x_2 -6x_4 = -4.
Dividindo por 2:
3x_2 -3x_4 = -2. \quad( \ast )
Substituindo x_3=3-2x_4 em (3):
3x_2 +6(3-2x_4) + x_4 =7 \quad\Rightarrow\quad 3x_2 +18 -12x_4 + x_4 =7,
3x_2 -11 x_4 = -11. \quad( \ast\ast )
Agora resolvemos o sistema de duas equações em x_2 e x_4, usando (\ast) e (\ast\ast). A partir de (\ast):
x_2 - x_4 = -\tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad x_2 = x_4 - \tfrac{2}{3}.
Substituindo em (\ast\ast):
3\bigl(x_4 - \tfrac{2}{3}\bigr) -11 x_4 = -11 \quad\Rightarrow\quad -8 x_4 -2 = -11,
-8 x_4 = -9 \quad\Rightarrow\quad x_4 = \tfrac{9}{8}.
Então
x_2 = x_4 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{9}{8} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{11}{24}.
Agora volto para x_1 e x_3:
x_1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}x_2 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{11}{24} = -\tfrac{13}{48},
x_3 = 3 - 2x_4 = 3 - 2\cdot \tfrac{9}{8} = \tfrac{3}{4}.
Portanto a solução exata é
\boxed{\;x=\begin{pmatrix}-\tfrac{13}{48}\\[4pt]\tfrac{11}{24}\\[4pt]\tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{9}{8}\end{pmatrix}\; }
Confirmação rápida: os valores racionais batem com as iterações de Gauss–Seidel mostradas (valores aproximados convergentes).]

Passo 8

Discussão didática sobre a influência da dominância diagonal na convergência (resumo, intuitivo e com exemplos).
  • Definição prática: uma matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Se houver igualdade em alguma linha (como aqui na linha 2) chama-se dominância fraca nessa linha.
  • Teorema útil (forma prática para prova/uso): se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema para qualquer chute inicial. Intuição: os termos diagonais “dominam” a influência dos acoplamentos, então cada atualização de x_i é majoritariamente determinada pelo próprio x_i e pequenas correções das outras componentes somam pouco — isso faz com que o operador de iteração tenha raio espectral menor que 1.
  • No caso de dominância fraca (igualdade em alguma linha) a convergência não é automaticamente garantida por esse teorema, mas muitas vezes (especialmente se a matriz for irreducível/ligada e tiver outras linhas estritamente dominantes) Gauss–Seidel ainda converge. Além disso, se A for simétrica definida positiva, Gauss–Seidel também converge; porém nossa matriz tem um elemento diagonal negativo, então não é positiva definida, portanto não podemos usar esse critério. Ainda assim, a dominância presente aqui (três linhas estritamente dominantes e uma com igualdade) fornece boa garantia prática de convergência — e os cálculos mostraram convergência rápida do Gauss–Seidel.
  • Efeito na velocidade: quanto mais forte a dominância diagonal (maior a diferença |a_{ii}| - \sum_{j\ne i}|a_{ij}|), mais rapidamente geralmente converge o esquema iterativo. Gauss–Seidel, por utilizar atualizações imediatas, convergirá tipicamente mais rápido que Jacobi na mesma matriz.

Resposta

  1. Jacobi: \begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{-4}\bigl(2 - 2\,x_2^{(k)}\bigr),\\\ x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(4 - 2\,x_1^{(k)} - 3\,x_3^{(k)}\bigr),\\\ x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 - 3\,x_2^{(k)} - x_4^{(k)}\bigr),\\\ x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{2}\bigl(3 - x_3^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Gauss–Seidel: \begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{-4}\bigl(2 - 2\,x_2^{(k)}\bigr),\\\ x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(4 - 2\,x_1^{(k+1)} - 3\,x_3^{(k)}\bigr),\\\ x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 - 3\,x_2^{(k+1)} - x_4^{(k)}\bigr),\\\ x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{2}\bigl(3 - x_3^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
  1. Solução do sistema: x=\begin{pmatrix}-\tfrac{13}{48}\\[4pt]\tfrac{11}{24}\\[4pt]\tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{9}{8}\end{pmatrix}.
  2. Influência da dominância diagonal: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, Jacobi e Gauss–Seidel convergem; dominância mais forte normalmente acelera a convergência. No caso dado há dominância estrita em três linhas e igualdade em uma, o que na prática (e nos cálculos) garante a convergência do Gauss–Seidel e explica sua rapidez frente ao Jacobi.]

Exercícios relacionados