Sabendo que a soma dos coeficientes de todos os termos em que o expoente de x é inteiro na expansão de
pode ser escrito da forma
tal que
é um número primo positivo e T e A números inteiros positivos primos entre si. Calcule o valor de
.
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
- A expressão a ser expandida é
. - Na expansão, os termos têm a forma
com podendo ser inteiro ou não. O enunciado quer a soma dos coeficientes de todos os termos em que o expoente de é inteiro. - O enunciado diz que essa soma pode ser escrita na forma
, onde é um número primo positivo e e são inteiros positivos que são primos entre si (ou seja, ). - O objetivo final é calcular o valor de
.
Passo 2
Entender a estrutura da expansão usando o Teorema do Binômio (aulas rápidas).
- O Teorema do Binômio diz que, para inteiro
,
- Aqui
, e . Assim cada termo da expansão tem a forma
com
variando
.
Passo 3
Determinar quando o expoente de
é inteiro.
- O expoente de
em cada termo é . - Para que
seja inteiro, é necessário e suficiente que seja par. - Portanto os termos com expoente inteiro correspondem exatamente aos índices
pares: .
Passo 4
Escrever a soma desejada
dos coeficientes dos termos com expoente inteiro.
- Para
par, escrevendo com , o coeficiente do termo é . - Então
(Outra forma equivalente é
.)
Passo 5
Aplicar um truque clássico para somar coeficientes de termos de paridade específica (aula-conceito).
- Para um polinômio
, a soma dos coeficientes dos termos de índice par é
porque
soma todos os coeficientes e
faz os coeficientes ímpares cancelarem com sinal trocado; a média elimina os ímpares deixando apenas os pares.
- No nosso caso, defina
. Então os coeficientes de são exatamente . Logo a soma dos coeficientes de índices pares é
Passo 6
Calcular explicitamente
e
e obter
.
- Temos
- Portanto
Passo 7
Relacionar com a forma pedida e identificar
,
e
; verificar condições.
- A soma foi escrita como
. Comparando com a forma , identificamos
- Verificar as condições:
é primo; e são inteiros positivos; (são primos entre si). Tudo bate com o enunciado.
Passo 8
Calcular o valor pedido
.
- Somando:
Resposta
2030