Sabendo que a soma dos coeficientes de todos os termos em que o expoente de x é inteiro na expansão de (\sqrt{x}+2)^{2025} pode ser escrito da forma \left(\frac{I^{T}+1}{A}\right) tal que I é um número primo positivo e T e A números inteiros positivos primos entre si. Calcule o valor de (I+T+A).

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • A expressão a ser expandida é (\sqrt{x}+2)^{2025}.
  • Na expansão, os termos têm a forma C \, x^{\alpha} com \alpha podendo ser inteiro ou não. O enunciado quer a soma dos coeficientes de todos os termos em que o expoente de x é inteiro.
  • O enunciado diz que essa soma pode ser escrita na forma \left(\dfrac{I^{T}+1}{A}\right), onde I é um número primo positivo e T e A são inteiros positivos que são primos entre si (ou seja, \gcd(T,A)=1).
  • O objetivo final é calcular o valor de I+T+A.

Passo 2

Entender a estrutura da expansão usando o Teorema do Binômio (aulas rápidas).
  • O Teorema do Binômio diz que, para inteiro n\ge0,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{\,n-k}.
  • Aqui a=\sqrt{x}=x^{1/2}, b=2 e n=2025. Assim cada termo da expansão tem a forma
\binom{2025}{k}\big(x^{1/2}\big)^k 2^{2025-k}=\binom{2025}{k}2^{2025-k}x^{k/2},
com k variando \,k=0,\dots,2025.

Passo 3

Determinar quando o expoente de x é inteiro.
  • O expoente de x em cada termo é k/2.
  • Para que k/2 seja inteiro, é necessário e suficiente que k seja par.
  • Portanto os termos com expoente inteiro correspondem exatamente aos índices k pares: k=0,2,4,\dots,2024.

Passo 4

Escrever a soma desejada S dos coeficientes dos termos com expoente inteiro.
  • Para k par, escrevendo k=2m com m=0,1,\dots,1012, o coeficiente do termo x^{m} é \binom{2025}{2m}2^{2025-2m}.
  • Então
S=\sum_{\substack{k=0 \\\ k\\ \text{par}}}^{2025}\binom{2025}{k}2^{2025-k}.
(Outra forma equivalente é S=\sum_{m=0}^{1012}\binom{2025}{2m}2^{2025-2m}.)

Passo 5

Aplicar um truque clássico para somar coeficientes de termos de paridade específica (aula-conceito).
  • Para um polinômio P(y)=\sum_{k=0}^{n} a_k y^k, a soma dos coeficientes dos termos de índice par é
\frac{P(1)+P(-1)}{2},
porque P(1)=\sum a_k soma todos os coeficientes e P(-1)=\sum a_k(-1)^k faz os coeficientes ímpares cancelarem com sinal trocado; a média elimina os ímpares deixando apenas os pares.
  • No nosso caso, defina P(y)=(y+2)^{2025}. Então os coeficientes a_k de P são exatamente a_k=\binom{2025}{k}2^{2025-k}. Logo a soma dos coeficientes de índices pares é
S=\frac{P(1)+P(-1)}{2}=\frac{(1+2)^{2025}+(-1+2)^{2025}}{2}.

Passo 6

Calcular explicitamente P(1) e P(-1) e obter S.
  • Temos
P(1)=(1+2)^{2025}=3^{2025},
P(-1)=(-1+2)^{2025}=1^{2025}=1.
  • Portanto
S=\frac{3^{2025}+1}{2}.

Passo 7

Relacionar com a forma pedida e identificar I, T e A; verificar condições.
  • A soma foi escrita como \dfrac{3^{2025}+1}{2}. Comparando com a forma \dfrac{I^{T}+1}{A}, identificamos
I=3,\qquad T=2025,\qquad A=2.
  • Verificar as condições: I=3 é primo; T=2025 e A=2 são inteiros positivos; \gcd(T,A)=\gcd(2025,2)=1 (são primos entre si). Tudo bate com o enunciado.

Passo 8

Calcular o valor pedido I+T+A.
  • Somando:
I+T+A=3+2025+2=2030.

Resposta

2030

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