Uma companhia possui três fábricas produzindo o mesmo produto. Se as fábricas
e
produzem
e
unidades, respectivamente, seus custos de fabricação são
e
. Se um pedido de 1.100 unidades deve ser entregue, use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar como a produção deve ser distribuída entre as três fábricas, a fim de minimizar o custo total de fabricação.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar o custo total de fabricação das três fábricas A, B e C, cujas produções são
e custos
,
e
, sob a restrição de que a soma das produções seja
unidades. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Como as constantes não afetam o ponto de mínimo, definimos a função objetivo
e a restrição
Vamos montar o Lagrangiano
.
Passo 3
O Lagrangiano é
As condições de otimalidade exigem
Passo 4
Das três primeiras equações isolamos
em função de
:
Passo 5
Substituindo na restrição
obtemos
Como
, segue
. Portanto
Resposta
A produção que minimiza o custo é distribuir
unidades na fábrica A,
unidades na fábrica B e
unidades na fábrica C.