Uma companhia possui três fábricas produzindo o mesmo produto. Se as fábricas A, B e C produzem x, y e z unidades, respectivamente, seus custos de fabricação são (3 x^2+200),(y^2+400) e (2 z^2+300). Se um pedido de 1.100 unidades deve ser entregue, use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar como a produção deve ser distribuída entre as três fábricas, a fim de minimizar o custo total de fabricação.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o custo total de fabricação das três fábricas A, B e C, cujas produções são x,y,z e custos l(3x^2+200r), l(y^2+400r) e l(2z^2+300r), sob a restrição de que a soma das produções seja 1100 unidades. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Como as constantes não afetam o ponto de mínimo, definimos a função objetivo
f(x,y,z)=3x^2+y^2+2z^2
e a restrição
g(x,y,z)=x+y+z-1100=0
Vamos montar o Lagrangiano L.

Passo 3

O Lagrangiano é
L(x,y,z,lambda)=3x^2+y^2+2z^2+lambdal(x+y+z-1100r)
As condições de otimalidade exigem
partial Lpartial x=6x+lambda=0, partial Lpartial y=2y+lambda=0, partial Lpartial z=4z+lambda=0, partial Lpartiallambda=x+y+z-1100=0

Passo 4

Das três primeiras equações isolamos x,y,z em função de lambda:
x=-lambda6, y=-lambda2, z=-lambda4

Passo 5

Substituindo na restrição x+y+z=1100 obtemos
-lambdal(tfrac16+tfrac12+tfrac14r)=1100
Como tfrac16+tfrac12+tfrac14=tfrac1112, segue lambda=-1100cdot1211=-1200. Portanto
x=--12006=200, y=--12002=600, z=--12004=300

Resposta

A produção que minimiza o custo é distribuir 200 unidades na fábrica A, 600 unidades na fábrica B e 300 unidades na fábrica C.

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