Verifique se o conjunto de soluçōes y1, y2 de uma EDO de 2^circ ordem, dada no intervalo (-infty, infty), é Linearmente Dependente (L.D) ou Linearmente lndependente (L.I).
[y1(x)=-2 e^3 x, y2(x)=3 e^-2 x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto de soluções y1, y2 de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, definida em todo o intervalo dos números reais, é Linearmente Dependente (L.D) ou Linearmente Independente (L.I). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e utilizar o Wronskiano, que é uma ferramenta útil para testar a independência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Ou seja, não existe um número constante c tal que y1 = c cdot y2 ou vice-versa.

Passo 3

Para testar isso de forma mais formal, usamos o Wronskiano, que é definido para duas funções y1(x) e y2(x) como:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2'
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Se for zero em todo o intervalo, elas são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções dadas:
y1(x) = -2 e^3x y1'(x) = -2 cdot 3 e^3x = -6 e^3x y2(x) = 3 e^-2x y2'(x) = 3 cdot (-2) e^-2x = -6 e^-2x

Passo 5

Agora, montamos o Wronskiano:
W(y1, y2) = -2 e^3x & 3 e^-2x -6 e^3x & -6 e^-2x
Calculando o determinante:
W(y1, y2) = (-2 e^3x)(-6 e^-2x) - (3 e^-2x)(-6 e^3x) W = 12 e^3x e^-2x + 18 e^-2x e^3x W = 12 e^x + 18 e^x W = 30 e^x

Passo 6

Observamos que e^x nunca é zero para nenhum valor de x. Portanto, W(y1, y2) = 30 e^x neq 0 para todo x no intervalo considerado.

Resposta

Como o Wronskiano W(y1, y2) = 30 e^x é diferente de zero em todo o intervalo, as funções y1, y2 são Linearmente Independentes (L.I.).

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