A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^prime(z).
w=e^-y(cos x-i sin x)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar as equações de Cauchy–Riemann e ver se a função
f(z)=w=e^-y(cos x - isin x)
é analítica em algum domínio e, se for, calcular ux = vy e uy = -,vx .
Conteúdo que vamos usar:
  • Separar em parte real e imaginária .
  • Aplicar as condições de Cauchy–Riemann
  • Explorar a forma da função para ver se ela depende de ou de .

Passo 2

Primeiro escrevemos
u(x,y)=Re f(z)=e^-ycos x, v(x,y)=Im f(z)=-,e^-ysin x
Agora vamos achar as derivadas parciais:

Passo 3

Calculemos as derivadas:
ux &= partialpartial xl(e^-ycos xr) = e^-y(-sin x) = -,e^-ysin x, uy &= partialpartial yl(e^-ycos xr) = -,e^-ycos x, vx &= partialpartial xl(-e^-ysin xr) = -,e^-ycos x, vy &= partialpartial yl(-e^-ysin xr) = -,(-e^-y)sin x = e^-ysin x

Passo 4

As condições de Cauchy–Riemann são
ux = vy Longrightarrow -,e^-ysin x = e^-ysin x
e
uy = -,vx Longrightarrow -,e^-ycos x = -l(-e^-ycos xr) = e^-ycos x
Para a primeira equação precisaria , ou seja , logo .
Para a segunda, implica , ou seja .
Não existe que faça simultaneamente e .
Isso mostra que as condições de Cauchy–Riemann não seguram em nenhum ponto (exceto pontos isolados que não formam domínio aberto).

Passo 5

Outra forma rápida de ver isso é reescrever
f(z)=e^-y(cos x - isin x) = e^-ye^-i x = e^-,l(y + i xr) = e^-,ibar z,
ou seja, depende de , não de . Funções holomorfas não podem depender de .

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio aberto do plano complexo e, portanto, não possui derivada .

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