A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente usar as equações de Cauchy–Riemann e ver se a função
é analítica em algum domínio e, se for, calcular
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Separar
em parte real e imaginária . - Aplicar as condições de Cauchy–Riemann
- Explorar a forma da função para ver se ela depende de
ou de .
Passo 2
Primeiro escrevemos
Agora vamos achar as derivadas parciais:
Passo 3
Calculemos as derivadas:
Passo 4
As condições de Cauchy–Riemann são
e
Para a primeira equação precisaria
, ou seja
, logo
.
Para a segunda, implica
, ou seja
.
Não existe que faça simultaneamente
e
.
Isso mostra que as condições de Cauchy–Riemann não seguram em nenhum ponto (exceto pontos isolados que não formam domínio aberto).
Para a segunda,
Não existe
Isso mostra que as condições de Cauchy–Riemann não seguram em nenhum ponto (exceto pontos isolados que não formam domínio aberto).
Passo 5
Outra forma rápida de ver isso é reescrever
ou seja,
depende de
, não de
. Funções holomorfas não podem depender de
.
Resposta
A função não é analítica em nenhum domínio aberto do plano complexo e, portanto, não possui derivada
.