Determine m para que \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1, sendo
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} m & \text { se }|x| \leq 3 \\\\ 0 & \text { sel }|x|>3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m\) de modo que a área total sob a curva de \[f(x)= \begin{cases} m, & \text{se }|x|\le3,\\\\ 0, & \text{se }|x|>3 \end{cases}
seja igual a (1]. O conteúdo é cálculo de integrais impróprias e interpretação geométrica da área de um retângulo.

Passo 2

Como f(x)=0 fora de [-3,3], temos
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx =\int_{-3}^{3}m\,dx +\int_{|x|>3}0\,dx =\int_{-3}^{3}m\,dx.

Passo 3

A integral de uma constante m em [-3,3] é a base vezes a altura, ou seja,
\int_{-3}^{3}m\,dx = m\cdot\bigl(3-(-3)\bigr) =6m.

Passo 4

Para que essa área valha 1, basta resolver
6m = 1
logo
m = \frac{1}{6}.

Resposta

m = \tfrac{1}{6}

Exercícios relacionados