Determine m para que \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1 onde
f(x)= \begin{cases}m x^{2} & \text { se }|x| \leq 1 \\\\ 0 & \text { se }|x|>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função de densidade
f(x)= \begin{cases} m\,x^{2},&\text{se }|x|\le1,\\\\ 0,&\text{se }|x|>1, \end{cases}
e pede m tal que
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.
Vamos usar cálculo de integrais em partes para satisfazer essa condição.

Passo 2

Como f(x)=0 para |x|>1, a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se a
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx =\int_{-1}^{1}m\,x^{2}\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral de x^{2} em [-1,1]:
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} =\frac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\frac{2}{3}.

Passo 4

Impondo m de modo que a integral seja 1, temos
m\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx =m\cdot\frac{2}{3} =1 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{3}{2}.

Resposta

m=\frac{3}{2}

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