Analise as integrais impróprias a seguir, indicando a não convergência ou calculando-as, caso contrário: \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}+4 x} d x;
Passo 1
O enunciado pede que a gente analise a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}+4x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas: a função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x^{3}+4x}. O intervalo de integração é [1,+\infty), ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito. Note que o denominador pode ser escrito como x(x^{2}+4); esse produto é zero em x=0, que não está no intervalo [1,\infty), logo não há singularidade interna no intervalo. As perguntas são: a integral converge ou diverge? Se convergir, calcular o seu valor.
Passo 2
Primeiro vamos checar convergência (sem ainda calcular o valor). Para grandes x podemos comparar a função com uma função-padrão cuja convergência já conhecemos. Observe que, para x\ge 1,
x^{3}+4x \ge x^{3},
pois 4x\ge 0. Então
0 < \frac{1}{x^{3}+4x} \le \frac{1}{x^{3}}.
Sabemos que a integral-padrão
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx
converge (é uma integral p com p=3>1). Pelo teste da comparação (se uma função positiva está abaixo de outra integrável, então ela também é integrável), concluímos que a integral dada converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 3
Agora que sabemos que converge, vamos calcular o valor exato. Método escolhido: decomposição em frações parciais (racional simples), porque temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador fatorado em x(x^{2}+4). Esse método nos permite integrar termo a termo de forma direta.
Passo 4
Fazendo a decomposição em frações parciais: propomos
Agora integramos termo a termo no intervalo [1,t] e depois passamos ao limite t\to+\infty. Para integrar, precisamos de primitivas:
Para \dfrac{1}{x}, a primitiva é \ln x.
Para \dfrac{x}{x^{2}+4}, fazemos a substituição simples: se u=x^{2}+4 então du=2x\,dx, logo \displaystyle\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)+C.
Portanto, uma primitiva para a integranda é
F(x)=\frac{1}{4}\ln x - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)=\frac{1}{4}\ln x - \frac{1}{8}\ln(x^{2}+4).
Passo 6
Agora calculamos a integral imprópria como limite:
Conclusão e interpretação: a integral converge (pela comparação com 1/x^{3}) e seu valor exato é \dfrac{1}{8}\ln 5. Dá pra ver também, intuitivamente, que a contribuição do infinito é nula porque a primitiva tende a zero no infinito após cancelações logarítmicas — por isso o resultado final depende só do valor em x=1. Força aí: esse tipo de integral cai bastante em prova; decorar o padrão de decomposição em x(x^{2}+a^{2}) e a integral de x/(x^{2}+a^{2}) ajuda muito.