Analise as integrais impróprias a seguir, indicando a não convergência ou calculando-as, caso contrário:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}+4 x} d x;

Passo 1

O enunciado pede que a gente analise a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}+4x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas: a função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x^{3}+4x}. O intervalo de integração é [1,+\infty), ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito. Note que o denominador pode ser escrito como x(x^{2}+4); esse produto é zero em x=0, que não está no intervalo [1,\infty), logo não há singularidade interna no intervalo. As perguntas são: a integral converge ou diverge? Se convergir, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro vamos checar convergência (sem ainda calcular o valor). Para grandes x podemos comparar a função com uma função-padrão cuja convergência já conhecemos. Observe que, para x\ge 1,
x^{3}+4x \ge x^{3},
pois 4x\ge 0. Então
0 < \frac{1}{x^{3}+4x} \le \frac{1}{x^{3}}.
Sabemos que a integral-padrão
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx
converge (é uma integral p com p=3>1). Pelo teste da comparação (se uma função positiva está abaixo de outra integrável, então ela também é integrável), concluímos que a integral dada converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Agora que sabemos que converge, vamos calcular o valor exato. Método escolhido: decomposição em frações parciais (racional simples), porque temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador fatorado em x(x^{2}+4). Esse método nos permite integrar termo a termo de forma direta.

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais: propomos
\frac{1}{x(x^{2}+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
onde A,B,C\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \(x(x^{2}+4)\) obtemos a identidade polinomial \[1 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)x.
Expandindo o lado direito:
1 = A x^{2} + 4A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + 4A.
Comparando coeficientes dos polinômios do mesmo grau, temos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 4A = 1. \end{cases}
Daí A=\dfrac{1}{4}\]. Então \(B=-A=-\dfrac{1}{4} e C=0.]

Passo 5

Substituindo os coeficientes encontrados, a decomposição fica
\frac{1}{x^{3}+4x}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}.
Agora integramos termo a termo no intervalo [1,t] e depois passamos ao limite t\to+\infty. Para integrar, precisamos de primitivas:
  • Para \dfrac{1}{x}, a primitiva é \ln x.
  • Para \dfrac{x}{x^{2}+4}, fazemos a substituição simples: se u=x^{2}+4 então du=2x\,dx, logo \displaystyle\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)+C.
Portanto, uma primitiva para a integranda é
F(x)=\frac{1}{4}\ln x - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)=\frac{1}{4}\ln x - \frac{1}{8}\ln(x^{2}+4).

Passo 6

Agora calculamos a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{3}+4x}\,dx=\lim_{t\to+\infty}\bigl(F(t)-F(1)\bigr).
Vamos analisar \lim_{t\to+\infty}F(t). Escrevemos
F(t)=\frac{1}{4}\ln t - \frac{1}{8}\ln(t^{2}+4).
Note que \ln(t^{2}+4)=2\ln t + \ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{t^{2}}\bigr). Substituindo:
F(t)=\frac{1}{4}\ln t - \frac{1}{8}\bigl(2\ln t + \ln(1+\tfrac{4}{t^{2}})\bigr) = -\frac{1}{8}\ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{t^{2}}\bigr).
Tomando limite quando t\to+\infty, temos \tfrac{4}{t^{2}}\to 0 e, portanto, \ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{t^{2}}\bigr)\to 0. Assim
\lim_{t\to+\infty}F(t)=0.

Passo 7

Calculamos F(1):
F(1)=\frac{1}{4}\ln 1 - \frac{1}{8}\ln(1^{2}+4)=0 - \frac{1}{8}\ln 5 = -\frac{1}{8}\ln 5.
Logo
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{3}+4x}\,dx = \lim_{t\to+\infty}F(t) - F(1) = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{8}\ln 5\bigr) = \frac{1}{8}\ln 5.

Passo 8

Conclusão e interpretação: a integral converge (pela comparação com 1/x^{3}) e seu valor exato é \dfrac{1}{8}\ln 5. Dá pra ver também, intuitivamente, que a contribuição do infinito é nula porque a primitiva tende a zero no infinito após cancelações logarítmicas — por isso o resultado final depende só do valor em x=1. Força aí: esse tipo de integral cai bastante em prova; decorar o padrão de decomposição em x(x^{2}+a^{2}) e a integral de x/(x^{2}+a^{2}) ajuda muito.

Resposta

\dfrac{1}{8}\ln 5

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