Encontre
\int \frac{x^{3}+x}{x-1} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x}{x-1}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
\text{função integranda } f(x)=\frac{x^{3}+x}{x-1},çã
a variável de integração é \,x, e a integral é indefinida (logo aparece uma constante de integração C). Note que a expressão tem denomindor \,x-1, então a função não está definida em x=1; isso serve apenas como observação sobre o domínio da primitiva.

Passo 2

Por que começar com divisão de polinômios: quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador (aqui grau 3 contra grau 1), é conveniente dividir o polinômio para escrever a função como soma de um polinômio mais uma fração própria. Isso facilita a integração, porque integraremos o polinômio termo a termo e a fração restante normalmente vira um termo do tipo \frac{A}{x-1}.

Passo 3

Vamos dividir \,x^{3}+x por \,x-1. Colocando os coeficientes do numerador (falta o termo x^2 e a constante, então colocamos zeros): 1 (para x^3), 0 (para x^2), 1 (para x), 0 (constante). Usamos a divisão sintética com a raiz 1 (porque divisor \,x-1 tem raiz x=1):
Trazer o primeiro coeficiente: 1.
Multiplicar por 1: 1. Somar ao próximo coeficiente 0: obtém 1.
Multiplicar por 1: 1. Somar ao próximo coeficiente 1: obtém 2.
Multiplicar por 1: 2. Somar ao último coeficiente 0: obtém 2.
Os coeficientes do quociente são 1,\;1,\;2, e o resto é 2. Assim o quociente corresponde ao polinômio \,x^{2}+x+2 e o resto é 2. Portanto podemos escrever:
\frac{x^{3}+x}{x-1}=x^{2}+x+2+\frac{2}{x-1}.

Passo 4

Interpretação e consequência: a integral original se transforma em
\int \frac{x^{3}+x}{x-1}\,dx = \int\!\biggl(x^{2}+x+2+\frac{2}{x-1}\biggr)\,dx.
Agora vamos integrar termo a termo usando regras básicas:
  • Regra da soma: \displaystyle \int (g+h)\,dx=\int g\,dx+\int h\,dx.
  • Regra do poder (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n é um número real; x é a variável.
  • Regra da constante: \displaystyle \int a\cdot g(x)\,dx=a\int g(x)\,dx, para constante a.
  • Integral do tipo logarítmico: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.

Passo 5

Aplicando essas regras termo a termo:
  1. \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3} pela regra do poder com n=2.
  2. \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2} pela regra do poder com n=1.
  3. \displaystyle \int 2\,dx=2x (constante multiplicativa).
  4. \displaystyle \int \frac{2}{x-1}\,dx=2\int \frac{1}{x-1}\,dx=2\ln|x-1| pela regra do logaritmo e pela regra da constante.

Passo 6

Somando todos os termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x+2\ln|x-1|+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando o resultado, usando \frac{d}{dx}\bigl(\ln|x-1|\bigr)=\frac{1}{x-1}, recuperamos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x+2\ln|x-1|\right) = x^{2}+x+2+\frac{2}{x-1} = \frac{x^{3}+x}{x-1},
ou seja, a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x+2\ln|x-1|+C

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