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Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
a variável de integração é
, e a integral é indefinida (logo aparece uma constante de integração
). Note que a expressão tem denomindor
, então a função não está definida em
; isso serve apenas como observação sobre o domínio da primitiva.
Passo 2
Por que começar com divisão de polinômios: quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador (aqui grau
contra grau
), é conveniente dividir o polinômio para escrever a função como soma de um polinômio mais uma fração própria. Isso facilita a integração, porque integraremos o polinômio termo a termo e a fração restante normalmente vira um termo do tipo
.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Colocando os coeficientes do numerador (falta o termo
e a constante, então colocamos zeros):
(para
),
(para
),
(para
),
(constante). Usamos a divisão sintética com a raiz
(porque divisor
tem raiz
):
Trazer o primeiro coeficiente:
.
Multiplicar por :
. Somar ao próximo coeficiente
: obtém
.
Multiplicar por :
. Somar ao próximo coeficiente
: obtém
.
Multiplicar por :
. Somar ao último coeficiente
: obtém
.
Multiplicar por
Multiplicar por
Multiplicar por
Os coeficientes do quociente são
, e o resto é
. Assim o quociente corresponde ao polinômio
e o resto é
. Portanto podemos escrever:
Passo 4
Interpretação e consequência: a integral original se transforma em
Agora vamos integrar termo a termo usando regras básicas:
- Regra da soma:
- Regra do poder (para
): Aqui é um número real; é a variável. - Regra da constante:
, para constante . - Integral do tipo logarítmico:
Passo 5
Aplicando essas regras termo a termo:
-
pela regra do poder com . -
pela regra do poder com . -
(constante multiplicativa). -
pela regra do logaritmo e pela regra da constante.
Passo 6
Somando todos os termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando o resultado, usando
, recuperamos
ou seja, a primitiva está correta.