Analise as integrais impróprias a seguir, indicando a não convergência ou calculando-as, caso contrário: \int_{4}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)} d x.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria e, se ela convergir, calcular o seu valor:
\int_{4}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
O integrando é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}(x+4)}.
A impropriedade vem do limite superior infinito +\infty (o intervalo é [4,\infty)).
O ponto x=4 não é singular porque \sqrt{4}=2 e 4+4=8 são finitos e não nulos.
Passo 2
Definição e procedimento geral para integrais impróprias com limite infinito: devemos interpretar a integral como um limite de integrais próprias. Ou seja,
Se esse limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário, diverge. Agora vamos calcular a integral indefinida ou encontrar uma primitiva que permita avaliar esse limite.
Passo 3
Escolha de substituição e motivo: vemos \sqrt{x} e x somado a uma constante; uma substituição natural é t=\sqrt{x} pois simplifica a raiz. Faço a substituição detalhadamente:
t=\sqrt{x} implica x=t^{2}.
Diferenciando, dx=2t\,dt.
Quando x=4 temos t=\sqrt{4}=2. Quando x=b (tendendo a +\infty), t\to+\infty.
onde a>0. Essa fórmula vem do fato de que \dfrac{d}{du}\arctan(u/a)=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(u/a)^{2}}=\dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,a (aplicando regra da cadeia e reorganizando), e portanto é direto obter a primitiva.
No nosso caso temos a^{2}=4, então a=2, e o integrando é \dfrac{2}{t^{2}+4}=2\cdot\dfrac{1}{t^{2}+2^{2}}. Assim uma primitiva é
\int \frac{2}{t^{2}+4}\,dt = 2\cdot \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) + C = \arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) + C.
Agora aplico nos limites [2,B] e depois faço B\to+\infty:
Sabemos que a integral imprópria \int_{A}^{\infty} x^{-p}\,dx converge se p>1. Aqui p=3/2>1, então por comparação a integral também deveria convergir. Isso apenas confirma a conclusão encontrada pelo cálculo explícito.