Analise as integrais impróprias a seguir, indicando a não convergência ou calculando-as, caso contrário:
\int_{4}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria e, se ela convergir, calcular o seu valor:
\int_{4}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}(x+4)}.
  • A impropriedade vem do limite superior infinito +\infty (o intervalo é [4,\infty)).
  • O ponto x=4 não é singular porque \sqrt{4}=2 e 4+4=8 são finitos e não nulos.

Passo 2

Definição e procedimento geral para integrais impróprias com limite infinito: devemos interpretar a integral como um limite de integrais próprias. Ou seja,
\int_{4}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_{4}^{b} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx.
Se esse limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário, diverge. Agora vamos calcular a integral indefinida ou encontrar uma primitiva que permita avaliar esse limite.

Passo 3

Escolha de substituição e motivo: vemos \sqrt{x} e x somado a uma constante; uma substituição natural é t=\sqrt{x} pois simplifica a raiz. Faço a substituição detalhadamente:
  • t=\sqrt{x} implica x=t^{2}.
  • Diferenciando, dx=2t\,dt.
  • Quando x=4 temos t=\sqrt{4}=2. Quando x=b (tendendo a +\infty), t\to+\infty.
Agora transformo o integrando:
\frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx = \frac{1}{t\,(t^{2}+4)}\cdot 2t\,dt = \frac{2}{t^{2}+4}\,dt.
Portanto a integral definida vira
\int_{4}^{b} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx = \int_{2}^{\sqrt{b}} \frac{2}{t^{2}+4}\,dt
e a integral imprópria é
\int_{4}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(x+4)}\,dx = \lim_{B\to+\infty} \int_{2}^{B} \frac{2}{t^{2}+4}\,dt,
onde escrevi B=\sqrt{b} para clareza. Note que a transformação foi legítima porque t>0 e a bijeção t\mapsto t^2 mantém ordem dos limites.

Passo 4

Cálculo da primitiva e uso de fórmula padrão: usamos a fórmula conhecida
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + C,
onde a>0. Essa fórmula vem do fato de que \dfrac{d}{du}\arctan(u/a)=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(u/a)^{2}}=\dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,a (aplicando regra da cadeia e reorganizando), e portanto é direto obter a primitiva.
No nosso caso temos a^{2}=4, então a=2, e o integrando é \dfrac{2}{t^{2}+4}=2\cdot\dfrac{1}{t^{2}+2^{2}}. Assim uma primitiva é
\int \frac{2}{t^{2}+4}\,dt = 2\cdot \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) + C = \arctan\!\left(\frac{t}{2}\right) + C.
Agora aplico nos limites [2,B] e depois faço B\to+\infty:
\int_{2}^{B} \frac{2}{t^{2}+4}\,dt = \left.\arctan\!\left(\frac{t}{2}\right)\right|_{t=2}^{t=B} = \arctan\!\left(\frac{B}{2}\right) - \arctan\!\left(\frac{2}{2}\right).
Sabemos que \displaystyle\lim_{B\to+\infty}\arctan\!\left(\frac{B}{2}\right)=\frac{\pi}{2} e \arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Portanto o limite é
\lim_{B\to+\infty}\left(\arctan\!\left(\frac{B}{2}\right) - \arctan(1)\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Verificação alternativa (intuição via comparação): para x grande temos x+4\sim x, então
\frac{1}{\sqrt{x}(x+4)} \sim \frac{1}{\sqrt{x}\,x} = \frac{1}{x^{3/2}}.
Sabemos que a integral imprópria \int_{A}^{\infty} x^{-p}\,dx converge se p>1. Aqui p=3/2>1, então por comparação a integral também deveria convergir. Isso apenas confirma a conclusão encontrada pelo cálculo explícito.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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