Analise se a integral é convergente, se for determine o valor da integral:
integral0^2 3raiz[5](x-1)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^23raiz[5](x-1)^4,dx
e, se ela for convergente, calcular seu valor. O conteúdo aqui é de integrais impróprias com singularidade interna em x=1 e vamos usar o teste do tipo p-integral, além de técnicas de substituição para efetuar o cálculo.

Passo 2

Observe que a função
f(x)=3raiz[5](x-1)^4
é singular em x=1, pois (x-1)^4 no denominador se anula ali. Em volta de x=1, escrevendo t=|x-1|, temos
f(x)sim 3t^4/5
O teste do p-integral diz que integral0^varepsilont^-pdt converge se e somente se p<1. Aqui p=4/5<1, logo cada lado da singularidade gera uma integral convergente, isto é, a integral dada é convergente.

Passo 3

Para calcular a integral, dividimos o intervalo em [0,1] e [1,2] e usamos substituições que transformem a singularidade em uma integral tipo integral0^1u^-4/5du.
Em [0,1] tomamos u=1-x, de modo que du=-dx e quando x vai de 0 a 1, u vai de 1 a 0.
Em [1,2] tomamos u=x-1, de modo que du=dx e u vai de 0 a 1.

Passo 4

Usando essas substituições, cada parte vale
integral0^13(1-x)^4/5,dx =3integral1^0u^-4/5(-du) =3integral0^1u^-4/5du
e
integral1^23(x-1)^4/5,dx =3integral0^1u^-4/5du
Agora,
integral0^1u^-4/5du =[u^1-4/51-4/5]0^1 =[u^1/51/5]0^1 =5
Cada parte vale 3times5=15.

Passo 5

Somando as duas partes no intervalo total [0,2], obtemos
15 + 15 = 30

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 30.

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