Analise se a integral é convergente, se for determine o valor da integral:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
e, se ela for convergente, calcular seu valor. O conteúdo aqui é de integrais impróprias com singularidade interna em
e vamos usar o teste do tipo
-integral, além de técnicas de substituição para efetuar o cálculo.
Passo 2
Observe que a função
é singular em
, pois
no denominador se anula ali. Em volta de
, escrevendo
, temos
O teste do
-integral diz que
converge se e somente se
. Aqui
, logo cada lado da singularidade gera uma integral convergente, isto é, a integral dada é convergente.
Passo 3
Para calcular a integral, dividimos o intervalo em
e
e usamos substituições que transformem a singularidade em uma integral tipo
.
Em tomamos
, de modo que
e quando
vai de
a
,
vai de
a
.
Em tomamos
, de modo que
e
vai de
a
.
Em
Em
Passo 4
Usando essas substituições, cada parte vale
e
Agora,
Cada parte vale
.
Passo 5
Somando as duas partes no intervalo total
, obtemos
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.