Em cada item verifique se a integral é convergente, se for calcule o valor da integral
integral0^1 ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergente, calcular a integral imprópria
integral0^1ln(x),dx
Aqui o conteúdo é de integrais impróprias do tipo não-limitadas em um extremo (quando xto0^+, ln(x)to-infty). Vamos usar a definição de limite e integração por partes.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como
integral0^1ln(x),dx = limato0^+integrala^1ln(x),dx
Para calcular integral ln(x),dx, aplicamos integração por partes com
u = ln(x), dv = dx, du = 1xdx, v = x
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integral ln(x),dx = xln(x) - integral xcdot1xdx = xln(x) - x + C

Passo 3

Substituindo nos limites de a a 1:
integrala^1ln(x),dx = l[xln(x)-xr]a^1 = l(1cdotln(1)-1r) - l(aln(a)-ar) = -1 - aln(a) + a
Agora tomamos o limite ato0^+. Sabemos que
limato0^+a = 0 e limato0^+aln(a)=0,
portanto
limato0^+integrala^1ln(x),dx = -1 - 0 + 0 = -1

Resposta

A integral é convergente e vale -1.

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