Em cada item verifique se a integral é convergente, se for calcule o valor da integral
integral0^1 x cdot ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral
integral0^1 xln(x),dx
é convergente e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias (pois ln(x) diverge em x=0) e o uso de integração por partes para encontrar a primitiva de xln(x).

Passo 2

Para tratar a singularidade em x=0, escrevemos a integral como limite:
integral0^1 xln(x),dx =limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1xln(x),dx
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva de xln(x) por partes. Escolhemos
u=ln(x)Rightarrow du=dxx, dv=x,dxRightarrow v=x^22
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integral xln(x),dx =x^22,ln(x)-integralx^22cdot1x,dx =x^22ln(x)-integralx2,dx =x^22ln(x)-x^24+C

Passo 4

Avaliaremos agora
integralvarepsilon^1xln(x),dx =l[tfracx^22ln(x)-tfracx^24r]varepsilon^1 =l(tfrac12ln(1)-tfrac14r) -l(tfracvarepsilon^22ln(varepsilon)-tfracvarepsilon^24r)
Como ln(1)=0, o primeiro parêntese é -tfrac14. No segundo, observa-se que
varepsilon^2ln(varepsilon)to0 e varepsilon^2/4to0 quando varepsilonto0^+.
Portanto o limite é finito e igual a -tfrac14.

Resposta

A integral converge e
integral0^1xln(x),dx=-14

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