Analise se a integral é convergente, se for determine o valor da integral:
integral-1^1 xraiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral-1^1 xraiz1 - x^2,dx
e, caso convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve análise de singularidades em integrais impróprias e uso de paridade de funções.

Passo 2

Verificamos onde a integral pode ser imprópria. O integrando
f(x)=xraiz1 - x^2
é singular em x=pm 1. Para estudar a convergência em xto 1^-, note que para 0<x<1,
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) >= 1 - x,
logo
l|f(x)r| = |x|raiz1 - x^2 <= 1raiz1 - x
Como
integral^1c 1raiz1 - x,dx = 2raiz1 - x|x=c^x=1 = 2l(0 - raiz1-cr)
é finito para qualquer c<1, a singularidade em x=1 é integrável. Analogamente em x=-1.

Passo 3

Como ambas as singularidades em x=pm1 são do tipo integrável (exponente tfrac12), a integral converge absolutamente e, portanto, converge propriamente.

Passo 4

Observe que f(-x) = -f(x), ou seja, f é uma função ímpar. Em geral, se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
integral-a^a f(x),dx = 0
Aqui temos a=1, logo
integral-1^1 xraiz1 - x^2,dx = 0

Resposta

A integral é convergente e vale 0.

Exercícios relacionados