Analise se a integral é convergente, se for determine o valor da integral:
integral-1^1 2raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência e, caso seja convergente, calcular a integral imprópria
integral-1^1 2raiz1 - x^2,dx
O conteúdo aqui é de integrais impróprias com singularidades nos limites de integração, já que o denominador raiz1-x^2 tende a zero em x=pm1.

Passo 2

Para tratar a integral como imprópria, escrevemos
I = integral-1^1 2raiz1 - x^2,dx = limato-1^+limbto1^-integrala^b2raiz1 - x^2,dx
Devemos verificar se esses limites existem (convergência).

Passo 3

Conhecendo que
ddxl(arcsin(x)r)=1raiz1-x^2,
temos como antiderivada
integral 2raiz1 - x^2,dx = 2,arcsin(x) + C
Como arcsin(x) é contínua em [-1,1] quando estendida pelos valores arcsin(-1)=-tfracpi2 e arcsin(1)=tfracpi2, a integral converge.

Passo 4

Agora aplicamos os limites na antiderivada:
I = limato-1^+limbto1^-l[2,arcsin(x)r]x=a^x=b = 2l(arcsin(1)-arcsin(-1)r)
Substituindo arcsin(1)=tfracpi2 e arcsin(-1)=-tfracpi2, obtemos
I = 2l(tfracpi2 - l(-tfracpi2r)r) = 2cdotpi = 2pi

Resposta

A integral é convergente e vale 2pi.

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