Analise a limitação das funções;
f(x)=x^2+x+1x^2+1;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=x^2+x+1x^2+1
definida para todo xinR, e queremos analisar se f é limitada — isto é, encontrar seu ínfimo e seu supremo.

Passo 2

Determinamos o domínio de f. Como x^2+1>0 para todo xinR, o denominador nunca se anula e o domínio é R.

Passo 3

Para achar extremos, calculamos a derivada f'(x) via regra do quociente:
f'(x) = (2x+1)(x^2+1)-2x(x^2+x+1)(x^2+1)^2 = 1-x^2(x^2+1)^2

Passo 4

Encontramos pontos críticos resolvendo f'(x)=0, o que leva a
1-x^2=0 Longrightarrow x=pm1
Como o sinal de f'(x) é positivo para lvert xrvert<1 e negativo para lvert xrvert>1, concluímos que x=-1 é mínimo local e x=1 é máximo local.

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(1)=1+1+11+1=32, f(-1)=1-1+11+1=12
Além disso,
limxtopminftyf(x)=1
fica entre tfrac12 e tfrac32.

Passo 6

Concluímos que f é limitada e seu conjunto-imagem é o intervalo fechado
l[tfrac12,tfrac32r]

Resposta

A função é limitada inferiormente por tfrac12 e superiormente por tfrac32; logo seu conjunto-imagem é l[tfrac12,tfrac32r].

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