Determine se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para determinar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da série:
. Observe que
é sempre maior que
para todo
. Portanto, temos:
Isso implica que:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica
Sabemos que a série geométrica
é convergente, pois a razão
.
Passo 4
Utilizando o Teste da Comparação, se temos:
e
converge, então
também converge. No nosso caso,
e
, e já vimos que
.
Passo 5
Portanto, como a série
converge e nossa série
tem termos menores que os da série convergente, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.