Determine se a série
sumn=1^infty 12^n+1
converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para determinar se a série
sumn=1^infty 12^n+1
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série: 12^n + 1. Observe que 2^n + 1 é sempre maior que 2^n para todo n. Portanto, temos:
2^n + 1 > 2^n
Isso implica que:
12^n + 1 < 12^n

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica
sumn=1^infty 12^n
Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty 12^n é convergente, pois a razão r = 12 < 1.

Passo 4

Utilizando o Teste da Comparação, se temos:
0 < an < bn
e sum bn converge, então sum an também converge. No nosso caso, an = 12^n + 1 e bn = 12^n, e já vimos que an < bn.

Passo 5

Portanto, como a série sumn=1^infty 12^n converge e nossa série sumn=1^infty 12^n + 1 tem termos menores que os da série convergente, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 12^n+1 converge.

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