Analise a limitação das funções;
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a limitação (isto é, o boundedness) da função
Vamos determinar se
é limitada, e em caso afirmativo encontrar seu ínfimo e supremo.
Passo 2
Primeiro, observe o domínio e o comportamento em infinitos.
O domínio é .
Calculemos
O domínio é
Calculemos
Dividindo numerador e denominador por
, vemos que ambos os limites valem
Logo, à medida que
,
. Isso sugere que quaisquer máximos ou mínimos globais ocorrem em pontos críticos finitos.
Passo 3
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada de
por quociente:
Zerando o numerador obtemos
Passo 4
Avalie
nesses pontos críticos:
Para
,
Para
,
Passo 5
Compare os valores obtidos e o limite em infinito:
.
Os pontos críticos dão
e
.
Como a função é contínua em e tende a
nos infinitos, concluímos que esses são, respectivamente, o mínimo e o máximo globais.
Os pontos críticos dão
Como a função é contínua em
Resposta
A função é limitada em
.
O ínfimo é
, atingido em
.
O supremo é
, atingido em
.
O ínfimo é
O supremo é