Analise a limitação das funções;
f(x)=x+1x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a limitação (isto é, o boundedness) da função
f(x)=x+1x^2+1,
Vamos determinar se f é limitada, e em caso afirmativo encontrar seu ínfimo e supremo.

Passo 2

Primeiro, observe o domínio e o comportamento em infinitos.
O domínio é R.
Calculemos
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x)
Dividindo numerador e denominador por x^2, vemos que ambos os limites valem
0
Logo, à medida que xtopminfty, f(x)to0. Isso sugere que quaisquer máximos ou mínimos globais ocorrem em pontos críticos finitos.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada de f por quociente:
f'(x) =(1)(x^2+1)-(x+1)(2x)(x^2+1)^2 =-x^2-2x+1(x^2+1)^2
Zerando o numerador obtemos
-x^2-2x+1=0 Longrightarrow x^2+2x-1=0 Longrightarrow x=-1pmraiz2

Passo 4

Avalie f nesses pontos críticos:
Para x1=-1+raiz2,
f(x1) =(-1+raiz2)+1(-1+raiz2)^2+1 =raiz2(3-2raiz2)+1 =raiz24-2raiz2 =raiz2+12
Para x2=-1-raiz2,
f(x2) =(-1-raiz2)+1(-1-raiz2)^2+1 =-raiz2(3+2raiz2)+1 =-raiz24+2raiz2 =1-raiz22

Passo 5

Compare os valores obtidos e o limite em infinito:
limxtopminfty f(x) = 0.
Os pontos críticos dão
f(x2) = 1-raiz22 approx -0,207 e
f(x1) = 1+raiz22 approx 1,207.
Como a função é contínua em R e tende a 0 nos infinitos, concluímos que esses são, respectivamente, o mínimo e o máximo globais.

Resposta

A função é limitada em R.
O ínfimo é
infxin Rf(x)=1-raiz22, atingido em x=-1-raiz2.
O supremo é
supxin Rf(x)=1+raiz22, atingido em x=-1+raiz2.

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