Encontre os valores extremos (máximo e/ou mínimo) das seguintes funções;
f(x)=1raiz1+x+x^2;

Passo 1

O enunciado pede os extremos da função
f(x)=1raiz1+x+x^2
Conteúdo: derivadas para encontrar extremos. Vamos precisar do domínio de f, da sua derivada, dos pontos críticos e de um teste de monotonicidade para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Note que o polinômio
g(x)=1+x+x^2
tem discriminante De<a=1-4=-3<0, o que implica g(x)>0 para todo xinR. Logo f(x) está bem definida em R e f(x)>0.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Usando a regra da cadeia em f(x)=(g(x))^-1/2 com g(x)=1+x+x^2, temos
f'(x)=-tfrac12,g(x)^-3/2cdot g'(x) =-1+2x2,(1+x+x^2)^3/2
Pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0, ou seja
1+2x=0Longrightarrow x=-tfrac12

Passo 4

Classificar o ponto crítico usando sinal de f'. Para x<-tfrac12 temos 1+2x<0 Rightarrow f'>0 (função crescente) e para x>-tfrac12 temos 1+2x>0 Rightarrow f'<0 (função decrescente). Logo em x=-tfrac12 há um máximo global.

Passo 5

Calcular o valor desse máximo e estudar possíveis mínimos.
fl(-tfrac12r) =1raiz1 - tfrac12 + tfrac14 =1raiztfrac34 =2raiz3
Quanto a mínimo, observe que
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty1raizx^2(1+1/x+1/x^2) =0,
mas f(x)>0 nunca atinge 0. Portanto não há valor mínimo no domínio (o ínfimo é 0, não alcançado).

Resposta

O único extremo é um máximo global em x=-tfrac12, com valor
fl(-tfrac12r)=2raiz3
Não existe mínimo no domínio de f.

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