Analise os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{2}-3}{2 x^{3}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^{2}-3}{2x^{3}+1}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador 5x^{2}-3 e denominador 2x^{3}+1.
  • O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 3.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty.

Passo 2

Ideia que vamos usar (sem resolver ainda): para x com grande valor absoluto, os termos de maior potência dominam o comportamento de polinômios. Uma técnica segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{3}), e então avaliar os limites termo a termo, lembrando propriedades básicas de limites (soma, produto, quociente) e que se uma parte tende a número não nulo podemos fazer a divisão.

Passo 3

Efetuando a divisão de numerador e denominador por x^{3}. Escrevo a expressão como
\frac{5x^{2}-3}{2x^{3}+1} = \frac{\dfrac{5x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{3}}}{\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}}{2+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Cada passo de álgebra é apenas dividir todos os termos por x^{3}.

Passo 4

Agora analisamos os limites de cada termo quando x\to -\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{5}{x}=0. Observação: como x\to -\infty, \dfrac{5}{x} tende a 0 vindo pelo lado negativo, mas o valor limite é 0.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x^{3}}=0. Aqui x^{3}\to -\infty também, então o quociente tende a 0.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{3}}=0.
Uso a propriedade de que limite da soma/quotiente de funções (quando existem) é a soma/quotiente dos limites, e que o denominador tende a um número diferente de zero (veja abaixo), para combinar os limites termo a termo.

Passo 5

Aplicando os limites termo a termo na expressão da Passo 3, o numerador tende a \dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^{3}}\to 0-0 e o denominador tende a 2+\dfrac{1}{x^{3}}\to 2+0. Portanto a expressão tende à razão
\frac{0}{2}.
Também vale a observação prática: quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador (aqui 3>2), a tendência em infinito é que a razão vá para zero.

Resposta

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