Analise os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - O grau do numerador é
e o grau do denominador é . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Ideia que vamos usar (sem resolver ainda): para
com grande valor absoluto, os termos de maior potência dominam o comportamento de polinômios. Uma técnica segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
), e então avaliar os limites termo a termo, lembrando propriedades básicas de limites (soma, produto, quociente) e que se uma parte tende a número não nulo podemos fazer a divisão.
Passo 3
Efetuando a divisão de numerador e denominador por
. Escrevo a expressão como
Cada passo de álgebra é apenas dividir todos os termos por
.
Passo 4
Agora analisamos os limites de cada termo quando
.
-
. Observação: como , tende a vindo pelo lado negativo, mas o valor limite é . -
. Aqui também, então o quociente tende a . -
.
Uso a propriedade de que limite da soma/quotiente de funções (quando existem) é a soma/quotiente dos limites, e que o denominador tende a um número diferente de zero (veja abaixo), para combinar os limites termo a termo.
Passo 5
Aplicando os limites termo a termo na expressão da Passo 3, o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto a expressão tende à razão
Também vale a observação prática: quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador (aqui
), a tendência em infinito é que a razão vá para zero.